초등교사를 위한 교양수학

소개글

초등교사를 위한 교양수학 에 대한 보고서 자료입니다.

목차

제 1 편 집합, 관계, 함수, 논리

제 1 장 집합 연습문제

제 2 장 관계 연습문제

제 3 장 함수 연습문제

제 4 장 논리 연습문제

제 2 편 수 개념과 대수계

제 5 장 수의 개념 연습문제

본문내용

[(c, d)(e, f)]로 곱셈에 관해
결합법칙이 성립한다.
배분법칙
(a, b)[(c, d)+(e, f)]=(a, b)(c+e, d+f)=(ac+ae-bd-bf, bc+be+ad+af)
(a, b)(c, d)+(a, b)(e, f)=(ac-bd, bc+ad)+(ae-bf, be+af)
=(ac+ae-bd-bf, bc+be+ad+af)
따라서 복소수는 (a, b)[(c, d)+(e, f)]=(a, b)(c, d)+(a, b)(e, f)로 배분법칙이
성립함을 알 수 있다.
2. 임의의 두 복소수 (a, b), (c, d)에 대해서 (x, y)=(c-a, d-b)락 하면
(a, b)+(x, y)=(c, d)
임을 밝혀라.
=> (x, y)=(c-a, d-b)이므로 위 식에 대입시켜서 풀어주면
(a, b)+(c-a, d-b)=a+bi+(c-a)+(d-b)i
=c+di=(c, d)
따라서 (a, b)+(x, y)=(c, d)임을 알 수 있다.
3. 덧셈 단위원은 무엇인가? 또 (a, b)의 덧셈 역원은 무엇인가? (덧셈 항등원을 여기서도 0으로 나타낸다.)
=> 복소수 (a, b)가 존재한다고 할 때 복소수에서 덧셈에 관한 단위원을 구하기 위해 덧셈 에 관한 단위원을 (x, y)라 하자.
(a, b)+(x, y)=(a, b)이 되는 (x, y)가 덧셈에 관한 단위원이므로 덧셈에 관한 단위원은 (0, 0)임을 알 수 있다.
또한 (a, b)의 덧셈이 역원을 구하기 위해 덧셈에 관한 역원을 (x', y')이라 하자.
(a, b)+(x', y')=(0, 0)이 되는 (x', y')이 덧셈에 관한 역원이므로 이를 풀면
(x', y')=(-a, -b)임을 알 수 있다.
4. (a, b)를 0이 아닌 복소수, (c, d)를 임의의 복소수라고 할 때
(x, y)=는 (a, b)(x, y)=(c, d)
를 성립시킴을 보여라.
=> (x, y)=이므로 (a, b)(x, y)=(c, d)식의 (x, y)대신에 를 대입하면 (a+bi)의 식으로 변형할 수 있다. 식을 풀면
=
=
=
=c+d=(c, d)
따라서 위 식을 성립시킴을 알 수 있다.
5. 곱셈 항등원은 (1, 0)임을 보여라.
=> 임의의 복소수 (a, b)가 존재한다고 할 때 곱셈에 관한 항등원을 구하기 위해서는 항등 원을 나타내는 복소수를 (x, y)라 하자. 그 때 (a, b)(x, y)=(a, b)인 (x, y)값이 복소수 의 곱셈에 관한 항등원을 나타내므로 (ax-by, bx+ay)=(a, b)에서 복소수의 상등에 의해
ax-by=a ① bx+ay=b ②
①, ②식을 연립하면
(a+b)x+(a-b)y=a+b이다. 임의의 a, b에 관해 성립하는 (x, y)는 (1, 0)뿐이다.
(5, 5, 2)
1. Hankel의 형식불역의 원리를 적용하여 자연수의 구구법에서 2(-3)=-6임을 유도하여라.
=> Hankel은 음수를 대상으로 보지 않고 형식적으로 취급하여 계산하였다.
자연수의 구구법중 한 예를 들어 설명하면
ⅰ)23=6 ⅱ)(-3)2=-6
22=4 (-3)1=-3
21=2 (-3)0=0
20=0 (-3)(-1)=3
2(-1)=-2 (-3)(-2)=6
2(-2)=-4
2(-3)=-6

ⅰ)에서와 같이 자연수 2에 자연수 3을 곱하는 것을 시작으로 하여 곱하는 수를 하나씩 줄여나가면 결과 값은 2씩 감소함을 규칙으로 하여 자연수(양의 정수)에 음의 정수를 곱 하면 음의 정수의 값이 나오는 것을 자연수의 구구법에서 확장하여 생각해볼 수 있다.
이에 더 나아가 ⅱ)에서와 같이 음의 정수 -3에 자연수 2를 곱하는 것을 시작으로 하여 곱하는 수를 하나씩 줄여나가면 결과값은 3씩 증가함을 규칙으로 하여 음의정수에 음의 정수를 곱하면 양의 정수의 값이 나오는 것을 유도해 낼 수 있다.
2. Hemilton의 사원수는 곱셈에 대한 배분법칙이 성립함을 증명하여라.
=> 사원수는 사칙연산은 되지만 곱셈에 대한 교환법칙이 성립하지 않으므로 계산하는 과정 에 있어서 순서가 중요하다.
세 개의 사원수 za, zb, zc가 존재할 때,
za=a0+a1i+a2j+a3k
zb=b0+b1i+b2j+b3k
zc=c0+c1i+c2j+c3k (a, b, c, d는 실수) 라 하자.
사원수의 곱셈에 대한 배분법칙이 성립함을 보이려면 za(zb+zc)=zazb+zazc 임을 증명하면
된다.
za(zb+zc)=(a0+a1i+a2j+a3k)(b0+b1i+b2j+b3k+c0+c1i+c2j+c3k)
=(a0+a1i+a2j+a3k)[(b0+c0)+(b1+c1)i+(b2+c2)j+(b3+c3)k
=[a0(b0+c0)-a1(b1+c1)-a2(b2+c2)-a3(b3+c3)]+[a0(b1+c1)+a1(b0+c0)+a2(b3+c3)-a3(b2+c2)]i+[a0(b2+c2)-a1(b3+c3)+a2(b0+c0)+a3(b1+c1)]j+[a0(b3+c3)+a1(b2+c2)-a2(b1+c1)+a3(b0+c0)]k①
zazb+zazc=(a0+a1i+a2j+a3k)(b0+b1i+b2j+b3k)+(a0+a1i+a2j+a3k)(c0+c1i+c2j+c3k)
=a0[(b0+c0)+(b1+c1)i+(b2+c2)j+(b3+c3)k]+a1[(b0+c0)i-(b1+c1)+(b2+c2)k-(b3+c3)j]+a2[(b0+c0)j-(b1+c1)k-(b2+c2)+(b3+c3)i]+a3[(b0+c0)k+(b1+c1)j-(b2+c2)i-(b3+c3)]②
②식을 순서로 배열하면 ①과 같은 식이 나온다.
따라서 사원수는 za(zb+zc)=zazb+zazc 으로 곱셈에 대한 배분법칙이 성립함을 알 수 있다.
3. Hemilton의 4원수 z=a+bi+cj+dk의 켤레수를 =a-bi-cj-dk로 정의한다. 을 계산하여라.
=> a2+b2+c2+d2
(a+bi+cj+dk)(a-bi-cj-dk)
=a2-abi-acj-adk+bai+b2-bck_bdj+caj+cbk+c2-cdi+dak-dbj+dci+d2
a, b, c, d는 실수이고 실수는 교환법칙이 성립하므로 식을 정리하면 a2+b2+c2+d2만
남는다.
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교양수학,   짝수,   문제풀이