비유클리드기하학에 대하여

목차

Ι. 개요
(1) 유클리드(Uclid) 기하학
① 기하학의 기원
② 유클리드 원론의 구성
③ 유클리드 기하
④ 공리
④-1 공리의 근거
④-2 공리의 요건
④-3 Euclid 기하의 역사
④-4 유클리드 기하학의 결함
(2) 비유클리드 기하의 탄생 배경
① 비유클리드 기하학
② 비유클리드 기하학의 역사
③ 비유클리드 기하학의 탄생

II. 쌍곡기하 (Hyperbolic Geometry)
(1) 쌍곡기하학의 정의
(2) 쌍곡기하학의 기초정리

III. 비유클리드 기하학의 영향

IV. 유클리드 기하학과 비유클리드 기하학의 비교

V. 기하의 발전

VI. 참고문헌 및 자료

본문내용

; 비유클리드 기하학의 발전으로 우주 공간의 무한성에 대한 의문을 인지 하지만 리만(Riemann), 헬름홀츠(Helmholtz)가 다름.
예를 들어
a) 2차원 공간에 존재하는 생물을 상상..
i) 생물은 평면 내에서 존재
하지만 2차원 우주도 무한대이다. (즉 우주의 부피는 무한대이다.)
ii) 생물은 구면 내에서 존재
생물이 보는 우주는 평면기하학이다.
직선을 곡선으로 생각
따라서 이들 생물이 가지는 우주는 유한하나 한계가 없다.
b) 2차원 구면 우주에 대해서, 리만(Riemann)이 발견했던 3차원 구형 공간 (즉, 유한한 부피를 가지나 경계가 없다.)을 유추할 수 있다.
IV. 유클리드 기하학과 비유클리드 기하학의 비교
특징
유클리드 기하학
비유클리드 기하학
포물기하
쌍곡기하
타원기하
시기
BC 400?
1829
1851
사람
유클리드(대표)
Bolyai
Lobachevski
Riemann
평행선
하나
무한히 많음
없음
모형
평면
직선
구의 내부
현 또는 직교호
구의표면
대원
직선
끝이 없고 크기는 무한
끝이 있고 크기는 무한
끝이 없고 크기는 유한
3각형의 내각의 합
180°
180°보다 작다
180°보다 크다
정4각형
존재
없음
없음
닮음
존재
없음
없음
가우스 곡률
K=0
K<0
K>0
V. 기하의 발전
Euclid 기하와 non-Euclid 기하의 분류 기준은 제 5공리에의 의존성에 있다. Euclid 기하의 정리 중 제 5공리에 전혀 의존하지 않는 것을 "절대기하"(absolute geometry)의 정리라 하고 이것들은 Euclid 기하나 쌍곡기하 모두에서 성립한다. 한편 Euclid의 정리 중 I, II, V 에만 의존하는 것은 "아핀기하"(aggin geometry) 라 하고 절대기하와 아핀기하에 공통으로 성립하는 정리들을 "순서기하"(ordered geometry)라 한다.
화가가 화폭에 그리는 그림은 실물을 화가의 눈을 중심으로 사영(central projection)하는 것이다. 이러한 과정에서 여러 물체 상호간의 위치 관계에 따라 거리가 필연적으로 달라진다. 이러한 그림 속에서도 여전히 실제 물체 간의 기하적 구조를 알아보는 것이 어떻게 가능할 것인가 하는 의문이 생기지만 사실 중심사영에 불변인 기하적 성질이 있다는 것을 알게 됐고 "사영기하"(projective geometry) 는 이러한 측면에서 개발된 지식체이다. 사영기하의 많은 기본적 사들은 1813 년경 프랑스 수학자 poncelet(1788-1867)가 발견하였는데 그는 당시 러시아에 전쟁포로였다. 아핀기하와 사영기하도 밀접한 관계가 있다. 평행사영에 의해서도 불변인 도형의 성질에 대한 연구가 바로 아핀기하로 연결되기 때문이다. 아핀기하의 이러한 측면을 처음 발견한 사람은 Euler(1707-1783) 이다.
계산적인 도구의 부족으로 기하의 발전이 자구 훼방을 받게 되는데 Descartes (1596- 1650)가 1637년 논문 La Geometric 좌표계를 도입하는 해석기하(analytic geometry)를 만듦으로써 보다 많은 문제에 대해 간단히 접근할 수 있게 되었다. 예를 들면 , 이전에는 아주 다루기 어려웠던 2차 곡선에 대한 연구를 아주 쉽게 하게 되었다. 더욱이 Descartes 시대 이후 기하학자는 해석 기하의 방법을 통해 대수학과 해석학의 새로운 발전을 충분히 이용할 수 있게 되어 계속 번창하여 왔다.
기하의 영역은 Riemann(1826-1866) 에 의해 대단히 넓어진다. 그는 곡면기하가 많은 새로운 기하의 예를 제공한다는 것을 알았고, 1854년 유명한 학위논문 발표에서 고차원의 일반적 공간(이것을 오늘날 Riemanian 다양체라 한다)에 대한 기하의 방법을 제시하였다. 이것이 현대의 "미분기하"(differential geometry)의 시초이다. 이 Riemannian 기하는 1916년 Einstein(1879-1955) 이 발표한 일반 상대성 이론을 가능하게 하였다.
1872년 Klein은 이러한 모든 기하를 각 정리들을 불변으로 유지하는 변환군에 의해 분류할 것을 제안하였다. 사실 운동(motions)에 대한 생각은 기하에서 항상 기본적으로 중요한 역할을 하여 왔고 Riemann의 기하는 변환군을 복잡하게 만들었다. 이러한 복잡한 변환군에 대한 연구 방법은 Sophus Lie(1842-1899)가 개발하였고, 그 변환군을 그의 이름을 따서 Lie groups라 한다. 이 Lie groups와 미분 기하는 현대 수학 연구의 매우 중요하며 활발히 연구되는 분야이다.
VI. 참고문헌 및 자료
“유클리드 기하개론" (경문사, 2000)
수학의 기초와 기본개념 (H. Eves저 허민, 오혜영 옮김) 경문사, 1995
수학의 세계 (목원대학교 출판부. 백성도나영채 편저)
http://home.postech.ac.kr/~ysh/writing/euclid/intro.htm
http://home.postech.ac.kr/%7Eysh/writing/euclid/euclid04.htm
http://sdhbkh.netian.com/math-source-2/character-study-2/geometry.htm
http://lovemath.netian.com/math/ibagu10.htm
http://www.hongik.ac.kr/%7Eymkim/space/noneuclidean/noneuclidean.htm
http://math.kongju.ac.kr/mathcom/mhistory/man3.html
http://came.paichai.ac.kr/gblee/hismath/student/hwang/start.htm
http://chunma.yu.ac.kr/%7Em0220092/math/mathstory/story3/nuclid.htm
http://www.math.snu.ac.kr/%7Echoe/noneuclid.html
http://211.40.179.13/book_file/ke10/ke010-127.htm
http://chunma.yu.ac.kr/%7Em0220092/math/mathstory/story3/nuclid.htm

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