[수치해석]Matlab을 이용한 2계 정상 열전도 방정식의 수치해석(라플라스 방정식)

소개글

[수치해석]Matlab을 이용한 2계 정상 열전도 방정식의 수치해석(라플라스 방정식)에 대한 보고서 자료입니다.

목차

- 문제
- 사용된 식
- 사용된 프로그램
- M-code
- 계산결과
- 결과고찰
- 첨부자료

본문내용

만 결과는 위와 비슷했다.
결과적으로 이는 격자간격이 줄어들어 절단오차는 줄어들었지만, 반올림 오차는 증가하고, 격자의 수가 4배로 늘어남에 따라 오차의 누적량이 바뀌는 등의 영향으로 격자가 줄었음에도 오차가 늘어나는 이상한 현상이 발생한 것으로 생각된다.
따라서 이 문제에 대해서는 격자간격 Δx의 크기만으로 전체오차를 계산하는 것은 부적절하다고 판단하였다.
이에 대안책으로 평균오차가 다음 식을 만족한다고 가정하면,
(err=허용상대오차, Δx=격자간격)
3가지 경우에 대하여 (①err=1,Δx=0.05 ②err=0.05,Δx=0.025 ③err=0.5,Δx=0.025)
평균오차를 계산한 뒤 위식에 미지의 상수( C, m, n )를 계산한 결과 다음 식을 얻을 수 있었다.
...................eq.⑴
위 식의 입증하기 위해 임의의 허용상대오차와 격자 간격 값을 대입해 보면
err
Δx
Err_total (실제)
Err_total by eq.⑴
0.01
0.05
0.1982
0.2274
0.01
0.025
0.628
0.689
0.1
0.05
1.391
1.435
1
0.05
10.46
9.05
< 표.1 >
위 <표.1>을 보면 실제의 평균오차와 계산상의 평균오차가 대략 비슷한 oder임을 알 수 있고(대략 10%정도 차이가 있음.), 따라서 위식이 실제의 평균오차를 계산할 수 있는 유용한 식임을 알 수 있다.
eq.⑴에서 특이한 점은 오차가 격자간격에 반비례한다는 점이다. 이는 위에 언급하였듯이 절단오차는 감소하나, 이에 따른 기타의 오차들로 인해 실제로는 격자간격에 반비례하는 결과가 발생한 것으로 생각된다.
참고로, matlab 계산으로 얻은 해석해와 ansys로 계산하여 얻은 해와의 상대오차는 0.0928%로 상당히 비슷한 해를 수치계산을 통해 얻을 수 있고, 해석해는 타탕한 것으로 생각할 수 있다.
▶결과 고찰
- 이상에서, 2차원 정상 열전도 문제를 수치적으로 계산해 보았다. 이번 숙제를 통해 편미분 방정식 풀이 법과, 수치해석 수업에서 배운 내용을 복습하는 계기가 되었고, 여러 가지 공학용 소프트웨어를 쪼끔 더 잘 다룰 수 있게 되었다. 그리고 이론적으로 아는 것과 실제로 구현하는 것 사이에는 많은 차이가 있다는 것을 다시 한번 느낄 수 있었다.
▶추가자료
★해석해를 구하는 방법
- 라플라스 방정식은 선형 제차 편미분 방정식이므로, 해석해는 중첩의 원리를 이용하여 구할 수 있다. 우선 다음과 같이 변수를 치환하고, (여기서 u 는 온도.)
다음 그림과 같이 경계조건을 나누고
중첩의 원리에 의해
이식을 풀기위한 8개의 경계조건은
0k 이하의 경계조건은 물리적으로는 타당하지 않으나 수학적으로 해를 구하는 데는 문제가 없다.
위의 theta 1,2 에 관한 방정식을 변수분리법에 의해 정리하여 풀면 각각 4개의, 총8개의 미지수를 갖는 다음의 두 방정식을 얻을 수 있고,
여기서 K, K', A, A', B, B', λ, λ' 은 미지의 상수임.
이 식에 위의 8개의 경계조건을 대입하면 해석해를 구할 수 있다.

키워드

기계공학,   수치해석,   열전도방정식,   라플라스,   ANSYS,   Matlab,   열전달