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소개글

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목차

Ⅰ. 수학의 가치

Ⅱ. 수학과 진법
1. 십진법
1) 십진법
2) 십진법의 전개식
2. 이진법
1) 이진법
2) 이진법의 전개식
3. 십진법과 이진법의 관계
1) 십진법의 수를 이진법으로 고치기
2) 이진법의 수를 십진법으로 고치기

Ⅲ. 수학과 명제
1. 명제와 그 부정
2. 명제의 역, 이, 대우
1) 명제의 역
2) 명제의 이
3) 명제의 대우

Ⅳ. 수학과 극한
1. 극한의 개념
2. 극한의 존재에 관한 주요정리
3. 점화식으로 주어진 수열의 극한
4. Telescoping Series
5. 연속과 불연속점
1) removable한 경우
2) essential한 경우
6. 극한 개념의 형식적 지도의 어려움과 직관적 지도의 필요성
1) 극한 개념과 식 정의 사이의 간극
2) 극한 기호의 문제점과 무한개념

Ⅴ. 수학과 문자
1. 문자사용의 시초
2. 문자의 발달

Ⅵ. 수학과 피타고라스의 정리

참고문헌

본문내용

특성을 갖는 기호로서 과정에만 집착하고 실무한으로서의 극한을 대상화하지 못한 상황에서 학생들에게 강요된 기호로 사용되는 교육적 문제점을 내포하고 있다. 다시 말해, 에서 는 실무한인 극한이지만 학생들은 극한에 한없이 접근하지만 도달할 수 없다거나 혹은 거의 도달할 때까지 접근한다든가 하는 자생적인 직관적 관념을 갖고, 극한의 실재성을 받아들이지 않은 채 궁극적으로 실현될 수 있는 잠재성만을 받아들인다.
예를 들어 학생들에게 의 값을 물었을 때, 가 로 향하지만 보다 작은 채로 남는, 로 접근하지만 실제로는 결코 끝나지 않는 역동적인 과정을 보게 되므로 임을 수용하는데 갈등을 느끼는 것이다. 학생들은 이러한 상황에서 극한의 대수법칙을 이용하여 여러 가지 함수의 극한값을 기계적으로 계산하는 데 주의를 집중하는 것이 일반적이다.
이러한 개념적 장애는 극한 개념 자체의 무한 속성과 인식의 유한성에서 비롯되는 불가피한 것으로 역동적이며 잠재적인 무한의 개념은 인간의 정신양식의 유한성과 실무한 사이의 타협 모델이라 할 수 있다. 이러한 장애를 극복할 수 있는 교수학적 방안으로서 무한관념을 다룰 때의 인식의 장애와 갈등을 경험시킨 후 이를 분명히 깨닫고 반성하여 개념을 재구성하도록 하는 반영적 추상화의 과정이 중요하다. 역동적인 무한의 개념처럼 직관적인 소박한 해석을 반성하여 새로운 개념의 논리적 구조와 보다 높은 내적 일관성과 포괄성을 갖는 이차적 직관을 구성하도록 지도해야 할 것이다.
Ⅴ. 수학과 문자
1. 문자사용의 시초
고대 이집트 시대에는 여러 가지 사실을 기록하는 데 종이 대신 파피루스라는 것을 썼다. 기원전 19세기에 이집트의 승려 아메스가 남긴 파피루스에는 분수의 계산을 비롯하여 많은 수학 문제가 나와 있는데, 그 중에는 `아하 문제(아하란 알지 못하는 값을 말한다.)`라는 것이 있다.
아하에 을 더하면 19가 된다. 아하를 구하여라
이집트 사람들은 이러한 문제를 `가정법`이라 불리는 방법을 사용해서 해결했다. 그 풀이법의 골자는 바로 이런 것이다. 먼저 답을 어떤 수, 가령 7이라고 가정한다.(가정하는 것이므로 다른 수여도 상관없다.) 그렇게 하면 이 된다. 그러나 원하는 값은 8이 아니라 19이므로 8을 19로 만들기 위해서는 2, , 배를 해서 더해야 한다. 따라서 처음에 가정한 수 7의 2, , 배를 해서 더한 값이 답이 된다.
이 방법은 우리가 방정식을 배우기 이전에 미지의 값을 구하기 위해 이것저것 미리 대입해 보았던 방법과 어느 면에서는 유사하다. 가정법을 이용하거나 일일이 대입해 확인하는 과정을 거치지 않고 단번에 풀 수 있도록 한 사람은 바로 `대수학의 아버지` 디오판토스이다. 디오판토스는 모르는 수를 x로 놓고 식을 세워 문제를 풀 수 있도록 했다. 그러나 미지수를 x로 놓고 푸는 방법을 알아내는 것은 쉬운 일이 아니었다. 여기에는 `모르는 것`을 `안다`고 생각하는 사고의 대전환이 필요했다. `모르는 것`을 `아는 것`으로 하는 것, 그것이 바로 문자 x의 역할이다. 문자 를 이용해 방정식을 세워 위에 제시된 문제를 풀어 보자.
이하를 라 하면
따라서 아하는 이다.
2. 문자의 발달
대수적 표기를 향한 최초의 시도는 디오판토스의 ‘산학\'에서 보여 진다. 여기에서 미지수, 6차까지의 미지수의 거듭제곱, 뺄셈, 등호, 역수 등에 대한 축약을 찾아볼 수 있다. 예를 들어
와은 각각 ΚΤαΔΤιγη 와
ΚΤαβΔΤη γ와 같이 표기되었다.
인도 사람들도 또한 대수학을 축약시켰다. 덧셈은 일반적으로 병렬로 표시하고, 뺄셈은 빼는 수 위에 점을 찍어 표시하였으며, 곱셈은 를 항 뒤에 써서 나타냈으며, 나눗셈은 나뉨수 밑에 나눔 수를 써서 표현했고, 제곱근은 를 그 양의 앞에 써서 나타냈다. 브라마굽타(Brahmagupta, 7세기)는 미지수를 로 나타내었다. 이미 알고 있는 정수는 를 앞에 붙여서 나타냈다. 그 이외의 미지수는 서로 다른 색깔에 대한 단어들의 첫 음절로 표시했다.
예를 들어 은 로 표현할 수 있다.
이 후 비에트, 데카르트 등의 많은 학자들에 의해 현대 문자 표기 방식이 확정되었다.
Ⅵ. 수학과 피타고라스의 정리
탈레스의 과업을 이어받은 피타고라스는 한 걸음 더 나아가 숫자를 숭배하는 수학 종교 집단을 창시했다. 피타고라스학파는 지켜야 할 많은 규칙이 있었는데, 그 중 하나는 절대로 콜을 먹지 말라는 것이었다. 피타고라스는 음악에서 화음이 어떻게 작용하는가를 밝혀내는 등 많은 재주를 보여 주었지만, 뭐니 뭐니 해도 최고의 히트작은 바로 피타고라스의 정리이다. 아래의 그림을 보면 피타고라스가 무슨 말을 한 것인지 좀 더 쉽게 알 수 있다.
직각삼각형이란, 하나의 각이 직각(90°)인 삼각형을 말하며, 빗변은 가장 긴 변으로 직각과 마주 보는 쪽에 있다. 각 변을 한 변으로 하는 정사각형을 만들면, 피타고라스의 말은 다음과 같은 뜻이 된다. “작은 두 정사각형의 넓이의 합은 큰 정사각형의 넓이와 같다.” 따분한 소리 같다고? 그렇지만 사람들이 다리를 놓고 고층 빌딩을 짓는 데 이 따분한 정리가 결정적인 도움을 주었다. 심지어는 축구 경기장에 선을 긋는 데에도 이 정리가 사용되고 있다.
피타고라스와 그의 추종자들은 수에 너무 심취한 나머지 약간 정신이 이상해졌다. 그들은 모든 짝수는 여성이고, 1을 제외한 모든 홀수는 남성이라고 정했으며, 1은 모든 수의 아버지이자 어머니라고 생각했다.
그러나 그렇게 고상한 자신들의 수들(유리수)만 가지고서는 풀리지 않는 문제가 나타나자 그들은 매우 당황했으며, 그 사실을 비밀에 부치고 그것을 발설하는 자를 암살하기까지 했다.
참고문헌
강시중(1981), 수학교육론, 서울 : 교육출판사
샌더스 스미스, 황선욱 역(2002), 수학사 가볍게 읽기, 한승
정은실(1993), 폴리아의 수학적 방법론 고찰, 대한수학교육학회논문집
허민 외 역(1995), 수학의 위대한 순간들(Eves, H, Great Moments in Mathematics), 서울 : 경문사
현종익(1996), 수학과 교수 학습 방법 탐구, 서울 : 학문사
K.C. 콜(2000), 아름다운 너무나 아름다운 수학, 경문사

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수학,   진법,   명제,   극한,   문자