미적분학 4-3

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미적분학 4-3에 대한 보고서 자료입니다.

본문내용

본정리 1에 의해
문제 5>
풀이>
따라서 기본정리 1에 의해
문제 6>
[도우미 :
풀이>
문제 7>
풀이>라고 하면 이다. 또한 이므로
문제 8>
풀이>라고 하면 또한 이므로
문제 9>
풀이>라고 하면 또한 이므로
문제 4-3-10~18> 미분적분학의 기본정리 2를 사용하여 정적분을 계산하거니 그것이 존재하지 않는 이유를 설명하여라.
문제 10>
풀이>
문제 11>
풀이>
문제 12>
풀이>
문제 13>
풀이>
문제 14>
풀이> 이 x=0에서 무한 불연속을 갖으므로 는 존재하지 않는다.
즉 f는 [-5, 5]구간에서 불연속이다.
문제 15>
풀이>
문제 16>
풀이>
문제 17>
풀이> 함수 가 에서 무한 불연속을 가지므로
는 존재하지 않는다. 즉, f는 구간 에서 불연속이다.
문제 18>
풀이>
문제 4-3-19~20> 그래프를 이용하여, 다음에 주어진 곡선의 아래에 놓여 있는 영역의 면적에 대한 대략적인 추정값을 구하여라. 그 다음에 정확한 면적을 구하여라.
문제 19>
풀이> 그래프상으로 면적은 60 정도로 보인다.
문제 20>
풀이>그래프 아래의 면적은 사각 화면의 약 으로 보인다.
문제 4-3-21> 다음 정적분을 계산하고 그것을 면적들의 차로 설명하여라. 그림을 그려서 설명하여라.
풀이>
문제 4-3-22~23> 다음 함수의 도함수를 구하여라.
문제 22> [도우미: ]
풀이>
문제 23>
풀이>
문제 4-3-24> 이고
풀이>
따라서
문제 4-3-25> 프레넬 함수 S가 예제 3에서 정의되었으며 그 그래프는 그림 7과 8에서 주어졌다.
a) x의 어떤 값에서 이 함수는 극대값을 갖는가?
b) 어느 구간에서 이 함수는 위로 오목한가?
c) 그래프를 이용하여, 다음 방정식을 소수점 이하 둘째 자리까지 정확하게 풀어라.
풀이> a) 프레넬 함수 는 일 때 구간 최대값을 갖고 은 양수에서 음수로 바뀐다.
x > 0 인 경우 이는 일 때 일어난다. 따라서
x < 0 인 경우 일 때 은 양수에서 음수로 바뀐다. 따라서
은 x=0 일 때는 부호가 바뀌지 않는다.
b) S는 일 때 위로 오목이다.
를 미분하면 을 얻는다.
x > 0 인 경우 일 때 이므로
또는 , n은 임의의 정수
또는 , n은 임의의 양의 정수
따라서 x<0 인 경우에 위로 오목인 구간은
, n은 임의의 양의 정수
정리하면 구간 (0, 1), 에서
S는 위로 오목이다.
c) Maple에서 plot({int(sin(pi*t^2/2), t=0..x), 0.2}, x=0..2);를 이용한다.
Mathematica에서는 Plot[{Integrate[Sin[Pi*t^2/2],{t,0,x}],0.2},{x,0,2}]를
사용한다.
그래프로부터 에서 임을 볼 수 있다.
문제 4-3-26> 로 놓자. 여기에서 함수 f의 그래프가 아래와 같이 주어졌다.
a) x의 어떤 값에서 함수 g는 극대값과 극소값을 갖는가?
b) x의 어떤 값에서 함수 g는 최대값을 갖는가?
c) 어느 구간에서 함수 g는 아래로 오목한가?
d) 함수 g의 그래프의 개형을 그려라.
풀이>a) FTC1에 의해서 따라서 x=1, 3, 5, 7에서
x=1, 5에서 g는 구간 극대값을 갖고
x=3, 7에서 g는 구간 극소값을 갖는다.
x>9에서 f가 정의되지 않았으므로 x=9에서 f는 극대나 극소값을 갖지 않는다.
b) 그래프로부터 임을 알 수 있다.
따라서
그러므로 이고 최대값은 x=9일 때 나타난다.
c) 인 구간에서 g는 아래로 오목이다.
그러나 는 대략 에서 음수이다.
따라서 g는 이들 구간에서 아래로 오목이다.
d)
문제 4-3-27> 구간 [0, 1] 위에서 한 함수에 대한 리만 합으로서 다음 합을 먼저 인식함으로써 극한을 계산하여라.
풀이>
문제 4-3-28> h<0인 경우에 공식 3이 성립함을 보여라.
풀이>h < 0 이라고 가정하자. f는 [x+h, x]에서 연속이므로 극값정리에 의해서 f(u)=m, f(v)=M인 u와 v가 [x+h, x] 에 존재한다. (m, M은 [x+h, x]에서 f의 최소값, 최대값).
적분의 성질 8에 의해서
즉,
공식2에 의해서 일 때 이므로
이고 이는 h<0일 때 공식 3 이다.
문제 4-3-29> a) 인 x에 대하여, 임을 보여라.
b)
풀이>a)라고 하면 x > 0에 대해서
f는 에서 증가
이면 이므로 이고 f가 증가이므로
에서 을 의미한다.
라고 하면 일 때 이다.
따라서 에서 g는 증가이다.
또한 이므로 일 때
이제 에서 이라고 하자.
따라서 ) 인 x에 대하여, 이다.
b) (a)와 성질 7에 의해서
문제 4-3-30> x>0 인 모든 x에 대하여, 항등식 가 성립할 경우에,
함수 f와 수 a를 구하여라.
풀이>FTC1을 이용하여 의 양변을 미분하면
a를 구하기 위해서 원래 식에 x=a로 치환하면
문제 4-3-31> 한 제조회사가 연속인 비율 f=f(t)로 상품가치가 저하되는 기계장치의 주요 부품을 소유하고 있다. 여기에서 t는 이 부품을 최종으로 검사 수리를 마친 시점으로부터 측정된 월 단위로의 시각을 나타낸다. 기계가 검사 수리를 받을 때 마다 고정비용 A가 발생되기 때문에 회사는 검사 수리 시점들 사이에 최적의 시점 T(월 단위로)를 결정하는 것을 원한다.
a) 정적분 가 기계의 검사 수리를 최종으로 한 시점으로부터 t시간동안에 기계의 가치의 손실을 나타내는 이유를 설명하여라.
b) 가다음과 같이 주어졌다고 하자.
C는 무엇을 의미하며, 왜 회사는 C를 최소화하기를 원하는가?
c) C(T) = f(T)를 만족하는 t = T에서 C는 최소값을 갖는다는 사실을 밝혀라.
풀이>a) 라고 하면 FTC1에 의해서 손실비율
따라서 는 구간[0, t]에서 가치의 감소를 나타낸다.
b) 주어진 시간 구간동안에 단 한번의 검사 수리가 있었다고 가정하면
는 구간[0, t]동안의 단위 t 에 대한 평균비용을 나타낸다. 회사는 평균 비용을 최소화 하기를 원한다.
c) 이고
FTC1에 의해
문제 4-3-32~34> 다음 적분을 계산하여라.
문제 32>
풀이>
문제 4-3-33>
풀이>
문제 4-3-34>
풀이>

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미적분학,   미분적분학,   솔루션