미적분학 4-5

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미적분학 4-5에 대한 보고서 자료입니다.

본문내용

문제 4-5-1~3> 주어진 치환식을 이용하여 적분을 계산하여라.
문제 1>
풀이>
문제 2>
풀이>
문제 3>
풀이>
문제 4-5-4~16> 다음 부정적분을 계산하여라.
문제 4>
풀이>이라고 하면 이므로
문제 5>
풀이>
문제 6>
풀이>
문제 7>
풀이>
문제 8>
풀이>
문제 9>
풀이>
문제 10>
풀이>
문제 11>
풀이>
문제 12>
풀이>
문제 13>
풀이>
문제 14>
풀이>
문제 15>
풀이>
문제 16>
풀이>
문제 4-5-17~18> 다음 부정적분을 계산하여라. 함수와 그것의 역도함수(c=0으로 택하여라.)의 그래프를 그려서 여러분의 해답이 합당한 것인지를 설명하고 검증하여라.
문제 17>
풀이>
에서 f는 음수에서 양수로 바뀌고 F는 극대값을 갖는다.
문제 18>
풀이>
x=0에서 f는 음수에서 양수로 바뀌고 F는 극소값을 갖는다.
문제 4-5-19~27> 만일 정적분이 존재한다면 그것을 계산하여라.
문제 19>
풀이>
x = 0 일 때 u = -1, x = 2일 때 u = 1 이므로
(정리 6 (b)에 의해서 f(u)는 기함수이므로)
문제 20>
풀이>
x = 0 일 때 u = 1, x = 1 일 때 u = 3 이므로
문제 21>
풀이>
t=0일 때 u = 0,일 때 이므로
문제 22>
풀이>정리 6 (b)에 의해서 가 기함수 이므로
문제 23>
풀이>
일 때 u = 1,일 때 이므로
문제 24>
풀이>
x = 0일 때 u = 1,x=13일 때 u = 27
문제 25>
풀이>
x=1일 때 u = 1,x=2일 때 u = 1
문제 26>
풀이>가 x=2에서 무한 불연속이므로 는 존재하지 않는다.
문제 27>
풀이>
x=0일대 x=a 일 때
문제 4-5-28> 그래프를 이용하여 주어진 곡선 아래에 놓여 있는 영역의 면적에 대한 대략적인 추정값을 구하여라. 그 다음에 정확한 면적을 구하여라.
풀이>그래프에 의하면 곡선 아래의 면적은 거의 또는 약 4이다.
정확한 면적은
(이므로 )
문제 4-5-29> 정적분 를 두 개의 적분의 합으로 표기하고 이들 적분들 중의 하나를 면적으로 해석함으로써 이 정적분을 계산하여라.
풀이>먼저 적분을 두 적분의 합으로 다음과 같이 쓴다.
정리 6 (b)에 의해서 이 기함수고 x = -2 에서 x = 2까지 적분하므로
는 반경2인 반원의 면적의 3배 이므로
문제 4-5-30> 숨쉬기는 주기적이며 숨을 들여마시기 시작부터 숨을 내 뿜은 끝까지의 전체의 호흡주기는 대략 5초가 걸린다고 한다. 공기가 폐속으로 흘러들어가는 최대 비율은 대략 라고 한다. 이 사실은 어느 정도로 함수 가 폐속으로 유입되는 공기의 비율을 모형화하는 데 가끔 사용되는 이유를 설명하고 있다. 이 모형을 이용하여, 시각 t에서 폐 속에 유입된 공기의 체적을 구하여라.
풀이>시간 t에서 폐로 흡입한 공기의 체적은
로 치환
리터
문제 4-5-31> 함수 f가 연속함수이고 일 때 정적분 를 구하여라.
풀이> 이므로
문제 4-5-32> 함수 f가 실직선 R 위에서 연속 함수라고 가정하자.
a) 이 성립함을 증명하여라.
이고 인 경우에 도형을 그려서 면적들의 상등으로서 이 방정식을 기하적으로 설명하여라.
b) 이 성립함을 증명하여라.
인 경우에 도형을 그려서 면적들의 상등으로서 이 방정식을 기하적으로 설명하여라.
풀이>a)
도형에 의해서 f의 그래프를 y축에 대해서 대칭 적분 구간을 대칭시키면 두 면적이 같다는 것을 볼 수 있다.
b)
도형으로부터 그래프 f와 적분구간을 거리c만큼 이동시킴으로써 두 면적이 같음을 알 수 있다.
문제 4-5-33> 만일 a와 b 가 양수이라면,
가 성립함을 보여라.
풀이>
문제 4-5-34~41> 다음 적분을 계산하여라.
문제 34>
풀이>
문제 35>
풀이>
문제 36>
풀이>
또는
문제 37>
풀이>
문제 38>
풀이>
문제 39>
풀이>
(이므로)
문제 40>
풀이>
x=1일 때 u = 1,x=2일 때 u = 1 over 2
문제 41 >
풀이>
x=e일 때 u = 1,일 때 u = 4

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미적분학,   미분,   적분