미적분학 4-2

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미적분학 4-2에 대한 보고서 자료입니다.

본문내용

-1> 함수에 대하여 4개의 부분구간들을 가지고, 표본점들을 오른쪽 끝점들로 선택하여 리만 합을 계산 하여라. 도형을 그려서 리만 합이 무엇을 나타내고 있는가를 설명하여라.
풀이> : 오른쪽 끝점,
리만합은 x축 위의 두 사각형의 면적의 합에서 x축 아래의 두 사각형의 면적의 합을 뺀 것이다. 즉 x축에 대한 순면적이다.
문제 4-2-2> 만일 이면, 5개의 부분구간들의 이등분점들을 표본점들로 택하여 리만 합을 소숫점 이하 6자리까지 정확하게 계산하여라. 리만 합은 무엇을 나타내고 있는지 도형을 그려서 설명하여라.
풀이>]
리만합은 x축 위의 두 사각형의 면적의 합에서 x축 아래의 세 사각형의 면적의 합을 뺀 것이다.
문제 4-2-3> 함수 f의 그래프가 아래와 같이 주어졌다. 네 개의 부분 구간들을 이용하여 다음의 각 경우에 대하여 정적분 으 값을 추정하여라.
a) 표본점들이 오른쪽 끝점일 경우
b) 표본점들이 왼쪽 끝점일 경우
c) 표본점들이 중점일 경우
풀이>
a)
b)
c)
문제 4-2-4> 증가함수 f의 값들이 아래의 표와 같이 주어졌다. 이 표를 이용하여 정적분 에 대한 아래 추정값(lower estimate)과 위 추정값(upper estimate)을 구하여라.
x
0
5
10
15
20
25
f(x)
-42
-37
-25
-6
15
36
풀이>f 가 증가하므로
아래 추정값
위 추정값
문제 4-2-5~6> 주어진 n의 값을 가지고 중점법칙을 이용하여, 적분의 근사값을 구하여라. 소숫점 이하 넷째자리에서 반올림하여라.
문제 5>
풀이> 이고 끝점들은 2,4,6,8,10 이고 중간점은 3,5,7,9이다.
중점법칙에 의해서
문제 6>
풀이> 이고 끝점들은 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1 이고
중간점은 0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9이다. 중점법칙에 의해서
문제 4-2-7> 만일 여러분이 부분구간의 이등분점을 이용하여 근사계산을 할 수 있으면 이에 대응하는 직사각형들을 그릴수 있는 CAS(컴퓨터 대수체계)를 가지고 있다면, (Maple에서는 middlesum과 middlebox를 이용하여라.) 연습문제 11의 해답을 검증하고 그래프를 가지고 설명하여라. 그 다음에 n=10인 경우와 n=20 인 경우에도 반복하여 문제를 풀어라.
풀이>Maple에서 with(student) 명령을 사용한다. : sum과 box 명령을 로드
m:=middlesum(sin(x^2), x=0..1,5) : 합표현의 합을 구함
M:=evalf(m) : 로 연습문제 11의결과를 확인
middlebox(sin(x^2), x=0..1,5) : 그래프 그리기
n=10과 n=20에 대해서 반복하면
문제 4-2-8> 계산기나 컴퓨터를 이용하여 n=5, 10, 50, 그리고 100인 경우에 정적분 에 대하여 표본점들은 오른쪽 끝점들로 택하여 리만합 의 값을 나타내는 표를 만들어라. 이들 값들이 어떤 값으로 접근하는지 그 값을 구하여라.
풀이>
n
5
10
50
100
1.933766
1.983524
1.999342
1.999836
은 2로 접근하는 것처럼 보인다.
문제 4-2-9~10> 주어진 구간 위에서 극한을 정적분으로 표현하여라.
문제 9>
풀이>
문제 10>
풀이>
문제 4-2-11~13> 공식 3에서 주어진 적분의 정의를 이용하여 다음 적분을 계산하여라.
문제 11>
풀이>
문제 12>
풀이>
문제 13>
풀이>
문제 4-2-14> 임을 증명하여라.
풀이>
문제 4-2-15> 를 리만 합의 극한으로 표현하여라. 극한값은 계산하지 마시오.
풀이>,
문제 4-2-16> 를 리만 합의 극한으로 표현하여라. 그 다음에 컴퓨터 대수체계를 이용하여 리만 합과 극한을 모두 구하여라.
풀이>
문제 4-2-17> 함수 f의 그래프가 다음과 같이 주어졌다. 각각의 정적분을 면적들로 해석함으로써 그 값을 계산하여라.
a) b)
c) d)
풀이>a) 를 밑변이 1과 3이고 높이가 2인 사다리꼴의 면적으로 생각하면
b)
c) 는 밑변2 높이 3인 삼각형 면적의 마이너스 이다.
d)
문제 4-2-18~20> 다음 정적분들을 면적으로 해석함으로써 그 값을 계산하여라.
문제 18>
풀이>는 x축 위의 삼각형 넓이 빼기 x축 아래 삼각형 넓이 이다.
문제 19>
풀이>는 x=-1에서 x=0사이의 그래프 의 아래쪽 면적이다.
이는 반경 3인 원의 하나의 사분면의 넓이와 그 아래쪽 사각형의 넓이의 합이다.
문제 20>
풀이>는 x축을 밑변으로 하는 두 삼각형의 면적의 합으로
이다.
문제 4-2-21> 정적분 일 때, 정적분 는 얼마인가
풀이>
문제 4-2-22> 4.1절의 예제 2에서 정적분 임을 보였다. 이 사실과 적분의 성질을 이용하여 정적분 를 계산하여라.
풀이>
문제 4-2-23> 연습문제 14와 적분의 성질을 이용하여 정적분 를 계산하여라.
풀이>
문제 4-2-24> 다음 식을 와 같은 형태의 한 항의 적분으로 표현하여라.
풀이>
문제 4-2-25> 이고 일 때, 정적분
를 구하여라.
풀이>
문제 4-2-26~27> 적분의 성질을 이용하여 적분값을 계산하지 않고 부등식이 성립함을 보여라.
문제 26>
풀이>구간 에서 이므로 같은 구간에서 이다.
따라서 이다.
문제 27>
풀이>만약 이면 이고 이므로
이고 이다.
즉, 이다.
문제 4-2-28~30> 적분의 성질 8을 이용하여 다음 정적분의 값을 추정하여라.
문제 28>
풀이>만약 이면 이므로
문제 29>
풀이>만약 이면 이므로
또는
문제 30>
풀이> 이므로
또는
문제 4-2-31> 적분의 성질과 연습문제 14를 이용하여 다음 부등식이 성립함을 보여라.
풀이>이므로
문제 4-2-32> 적분의 성질 3을 증명하여라.
풀이>
문제 4-2-33> 만일 함수 f가 구간 [a, b]위에서 연속함수이면, 부등식
이 성립함을 보여라.
[힌트 : ]
풀이>이므로
문제 4-2-34> 다음 극한을 정적분으로 표현하여라.
[힌트 : 을 생각하여라.]
풀이>
문제 4-2-35> 정적분 을 계산하여라. [힌트: 를 과 의 기하평균
(즉, )로 택하고, 항등식
을 이용하여라.]
풀이>,

키워드

미적분학,   미분,   적분