미적분학 3-7

본문내용

약 이면 이므로
표면적
문제 3-7-21> 예제4에서 강의 넓이가 5km이고 점B는 A로부터 하류 5km에 있을 때 예제4의 문제를 풀어라.
풀이>
하지만 이므로 T는 임계값이 없다.
, 이므로 그는 B로 바로 저어가야 한다.
문제 3-7-22> 광원에 의한 어떤 물체의 조도는 광원의 밝기에 비례하고 광원으로부터의 거리의 제곱에 반비례한다. 두 광원 중 한 쪽은 다른 쪽의 세 배의 조도를 갖고 있다. 이 두 광원은 10ft 떨어져있다. 이 두 광원 사이에 물체를 놓아 조도를 최소화하도록 하여라.
풀이>총 조도
이므로 여기서 최소 조조를 나타낸다.
문제 3-7-23> a와 b를 양수라 하자. 제1사분면에서 삼각형을 만들며 점(a,b)를 지나는 직선이 양 좌표축과 만나는 선분의 최소값을 구하여라.
풀이>제1사분면에서 (a,b)를 지나고 끝점이 x축과 y축과 만나는 직선의 방정식은
x=0으로 놓고 또 y=0으로 놓으면 우리는 끝점 과 을 얻는다.
A와 B사이의 거리 이다.
직선의 길이의 제곱을 하면
따라서 또는
이고 m<0 이므로 이여야만 한다.
이므로 에서 이고 에서 이므로
S는 에서 최소값을 갖는다. 최소값은
마지막 식은 일 때
의 형태이므로 으로 쓸수 있다.
그리고 가장 짧은 선의 길이는 가 된다.
문제 3-7-24> 둘레가 일정한 이등변감각형들 중 넓이가 가장 큰 삼각형은 정삼각형임을 보여라.
풀이> 따라서
면적
둘레
따라서
일 때 이고 일 때 이므로 에서
최대값을 갖는다. 그러나 이므로
정삼각형이 된다.
문제 3-7-25> P를 AD위에 잡되 P에서 A, B와 C까지를 잇는 선들의 총길이 L을 최소화 하려고 한다. L을 x=|AP|의 함수로 나타내고 최소값을 구하기 위하여 L의 그래프와 를 이용하여라.
풀이>
피타고라스 정리에 의해서
그래프로부터 L의 최소값은 L(3.59) = 9.35m 처럼 보인다.
문제 3-7-26> 은 공기중에서 빛의 속도이고 는 물속에서의 빛의 속도이다. Fermat의 원리에 의하면 빛은 공기 중의 점 A에서 물속의 점B까지 진로 A⊂B를 따라 시간이 최소가 되도록 이동한다. (입사각)과 (굴절각)가 아래와 같을 때
임을 보여라. 이 방정식은 Shell의 법칙으로 알려져 있다.
풀이>총 시간은
극소는 일 때 나타나므로
이다.
문제 3-7-27> 그림에서와 같이 12in × 8in 의 종이 조각을 위 오른쪽 모서리를 밑변에 닿게 접는다. 접힌 부분의 길이를 최소화하려면 어떻게 접어야 하는가? 다시 말하면 y를 최소화 하려면 x를 얼마로 해야 하는가?
풀이> 이지만 삼각형 CDE는 BCA와 닮은꼴이다. 따라서
따라서 을 최소화하자.
(x=6 일 때)
x<6 일 때 f'(x)< 0 이고 x>6 일 때 f'(x)> 0 이므로 극소는 x==6에서 나타난다.
문제 3-7-28> 트랙으로부터 1(단위길이)만큼 떨어진 점 P에 관측자가 있다. 그림에서 두 사람의 경주자가 점 S에서 출발하여 트랙을 따라 달린다. 한 경주자가 다른 경주자보다 3배 빠르다. 두 경주자 사이의 관측 시각 의 최대값을 구하여라.
풀이>이는 를 극대화 하면 된다.
이므로
(t0이므로)
에서 이고
에서 이므로 f는 에서 최대값을 갖는다.
그리고
t와 를 에 대입하면
문제 3-7-29> 각 를 최대로 하려면 점 P를 선분 AB상에 어디에 잡아야 하는가?
풀이>그림으로부터
루트의 +사인의 경우 3보다 커지므로 버린다.
일 때 이고, 일 때 이므로
|AP| = x = 일 때 는 극대가 된다.
문제 3-7-30> 세로 L이고 가로가 W인 직사각형에 외접하는 직사각형의 최대넓이를 구하여라.
풀이>빗변W와 변a, 변c로 된 작은 삼각형에서
이다.
빗변L과 변b, 변d로 된 삼각형에서
이다.
따라서 이므로
주변의 삼각형의 면적은
이 식으로 의 극대값이 일 때 나타나는 것을 알 수 있다. 따라서 최대 면적은
문제 3-7-31> 조류학자들은 어떤 종류의 새들은 낮동안 넓은 수역에서는 날지 않으려고 한다고 한다. 낮동안에는 공기가 육지에서는 올라가고 물 위에서는 내려오기 때문에 육지보다 물위를 날 때 에너지 소모량이 많다고 믿는다. 이런 성향을 가진 새 한 마리가 해안선상의 가장 가까운점 B에서 5km 덜어진 섬에서 풀려나서 해안선상의 점C로 날아가로 다시 해안선을 따라 둥지가 있는 곳 D로 날아간다. 새는 본능적으로 에너지 소모량을 최소화하는 길을 택한다고 가정하여라. BD는 13km이다.
a) 일반적으로 물위를 날을 때 육지 위를 나는 것 보다 1.4배의 에너지가 소모된다면 이 새는 둥지로 돌아올 때 총 에너지 소모량을 최소화 하기 위하여 어떤 점 C로 날아가야 하는가?
b) W와 L을 각각 물과 육지 위를 날을 때 kilometer당 에너지(joule)를 나타낸다고 하자. 비율 W/L이 클 때 새의 날아가는 것에서 무슨 의미를 갖는가?
c) W/L이 얼마일 때 새는 둥지가 있는 곳으로 직접 날아가겠는가? W/L이 얼마일 때 새는 B로 날아 가서 D로 해안을 따라 날아가겠는가?
d) 조류학자들이 어떤 종류의 새들이 B로부터 4km 떨어진 해안에 도착했다면 육지보다 물 위에서 소모되는 에너지 양은 몇 배가 되는가?
풀이>a) 만약 육지에서 이면 물 위에서는 이다.
따라서 총 에너지는 이다.
그러므로
끝점에서는 이므로
에너지를 최소화 하기 위해서는 B에서 약 5.1km 지점으로 날아야 한다.
b) 이 크다면 물 위에서 날 때 사용되는 에너지를 최소화 하기 위해서 새는 D보다 B에 더 가까운 C점으로 날아가야 한다.
이 작다면 날아가는 거리를 최소화 하기 위해서 새는 B보다 D에 더 가까운 C점으로 날아가야 한다.
(a)와 같은 논의로 만약 새가 B로부터 x km 떨어진 곳으로 간다면 에너지 소비를 최소화했다는 것을 나타내 준다.
c) D로 똑바로 날아가는 경우 x=13 이고 (b)에서
새가 B로 똑바로 날아가는 경우에 대한 값은 없다.
하지만 이므로 E가 극소가 되는 점이 B에 가까우면 이 크다.
d) 새가 본능적으로 에너지 소비가 최소화 되는 경로를 선택한다고 가정하면
(a)의 의 식에 x=4 와 1.4k = c , k = 1로 놓으면
가 된다.

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