미적분학 3-2

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본문내용

라서 를 만족하는 a < c < b 인 c 가 존재하고 이므로 이므로 f(b) < g(b) 이다. 마찬가지로
이라고하면
이고 x > 0 에 대해서 이다.
따라서 b > 0 에 대해서 이다.
문제 3-2-15> 평균값 정리를 이용하여 모든 a와 b에 대하여 부등식 을 증명하여라.
풀이>, b < a 라고 하면 f(x) 는 [b,a]에서 연속이고 (b,a)에서 미분가능하다. 평균값정리에 의해서 인
c ∈(b,a) 가 존재한다. 따라서 이다.
만약 a < b 이면 이고
a=b이면 부등식의 양변이 모두 0이다.
문제 3-2-16> 이고
라고 할 때, 정의역의 모든 x에 대하여 임을 보여라. 보조정리-7로부터 f-g가 상수라고 할 수 있는가?
풀이> x > 0에서 이므로 이다.
x < 0에서 이고 이므로
이다.
그러나 g(x)의 정의역이 (-∞,0)∪(0,∞)이므로 f-g 가 상수라고 할 수 없다.
문제 3-2-17> 두 경주자가 동시에 출발점에서 출발하여 종착점에서 끝난다. 경주하는 동안 적당한 시간에서 같은 속도를 갖는 것을 증명하여라. [도움말:g와 h가 두 경기자의 위치의 함수일 때 f(t) = g(t) -h(t)를 생각하라.]
풀이>g(t), h(t)를 두 주자의 위치 함수라고 하고 f(t)=g(t)-f(t)라고 하자.
f(0)＝g(0) - h(0) 이고 f(b)＝ｇ(b) - h(b) = 0 (b는 끝나는 시간)이다.
평균값 정리에 의해서 0 < c < b에서 인 c가 존재한다.
그런데 f(b) = f(0) = 0이므로 이다.
그리고 이므로 이다.
따라서 c시간에 두 주자는 같은 속력 을 갖는다.

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