미적분학 2-9

본문내용

진 자갈은 지름과 높이가 항상 같은 원추형을 이룬다. 자갈더미의 높이가 10ft 일 때, 이 높이는 얼마나 빨리 증가하는가?
풀이>
h = 10 ft 일 때
문제 2-9-13> 삼각형의 두 변의 길이는 각각 4m, 5m 이고 두 변의 사잇각은 0.06 rad/s의 비율로 증가한다. 고정된 길이를 갖는 두 변의 사잇각이 일 때, 삼각형의 면적의 증가율은 얼마인가?
풀이>
따라서
일 때
문제 2-9-14> Boyle의 법칙에 따르면 용기안의 기체가 일정한 온도에서 압력을 받을 때, 압력 P와 부피V는 방정식
(C:상수)
를 만족한다. 어떤 순간에 부피는 , 압력은 150kPa 이고, 이 압력은 20kPa/min의 비율로 증가한다고 하자. 이 순간에 부피의 감소율은 얼마인가?
풀이> 의 양변을 t에 대해서 미분하면
V = 600이고 P = 150 이고 일 때
따라서 체적은 의 비율로 감소한다.
문제 2-9-15> 저항 를 가진 두 저항이 그림처럼 병렬로 연결되어 있다면, 총 저항 R(Ω)은
로 주어진다. 만약 가 각각 0.3Ω/s와 0.2Ω/s의 비율로 증가한다면, 이고 일 때 R은 얼마나 빨리 증가하는가?
풀이> 따라서
의 양변을 t에 대해서 미분하면
이고 일 때
문제 2-9-16> 10ft 길이의 사다리가 수직인 벽면에 기대어 있다. 사다리의 바닥면이 2ft/s의 속력으로 벽으로부터 미끄러져간다. 사다리의 위쪽 끝부분과 벽면 사이의 각이 라디안 일 때 , 이 각의 변화율은 얼마인가?
풀이>
일 때
문제 2-9-17> TV 카메라가 로켓 발사대의 밑 부분으로부터 4,000ft 되는 곳에 놓여 있다. 이 로켓은 수직으로 솟아오르고 3,000ft일 때, 속도는 600ft/s 이다.
a) 그 순간에 TV 카메라와 로켓 사이의 거리는 얼마나 빨리 변하는가?
b) 만약 TV 카메라가 항상 로켓에 초점을 맞춘다면 같은 순간에 카메라의 상승각은 얼마나 빨리 변화하는가?
풀이>a) 피타고라스 정리에 의해서 이고 t에 대해서 미분하면
이다. 라는 것을 알고 있으므로 y = 3000 ft 일 때
이고
b)
y = 3000 ft 일 때,
따라서
문제 2-9-18> 비행기가 고도 1km에서 지상의 레이더 기지 위를 의 각도로 일정한 속력 300 km/h로 날로 있다. 1분 후 비행기로부터 레이더 기지까지의 거리에 대한 증가율을 구하여라.
풀이>이고 코사인 법칙에 의해서
따라서
1분후에
문제 2-9-29> 주자가 반지름 100m인 원형 트랙을 일정한 속도 7m/s로 돈다. 주자의 친구가 트랙의 중심으로부터 200m 거리에 서 있다. 그 둘 사이의 거리가 200m 일 때 둘 사이의 거리는 얼마나 빨리 변화하는가?
풀이>주자와 친구 사이의 거리를 이라고 하자. 그러면 코사인법칙에 의해서
(식1)
t에 대해서 음함수 미분을 하면 를 얻는다.
각도가 일 때 달린 거리를 D 라고 하면 원에서의 호의 길이 공식 에 의해
가 된다. 따라서 이 된다.
이 식을 식에 대입하려면 일 때 의 값을 알아야 한다.
(식1)에서
위 결과들을 대입하면

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