미적분학 6-6

본문내용

문제6-6-1~3> 다음 값을 계산하여라.
문제 1> a) b)
풀이>a)
b)
문제 2> a) b)
풀이>a)
b)
문제 3> a) b)
풀이>a)
b) (이므로)
문제 6-6-4~10> 다음 항등식을 증명하여라.
문제 4> sinh(-x) = -sinh x ( 이 사실로부터 sinh는 기함수임을 알수 있다.)
풀이>
문제 5>
풀이>
문제 6>
풀이>
문제 7>
풀이>항등식 의 양변을 로 나누면
문제 8>
풀이>를 연습문제 6에 대입하면
문제 9>
풀이>
문제 10> (n은 실수)
풀이>연습문제 5에 의해서
문제 6-6-11> 일 때 x에서의 다른 쌍곡선함수의 값을 구하여라.
풀이> 이므로 x>0
(이므로)
문제 6-6-12> 쌍곡선함수들이 정의를 이용하여 다음의 극한값을 구하여라.
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
i)
풀이>a)
b)
c)
d)
e)
f)
g) (양수에서 이고 이므로)
h) (음수에서 이고 이므로)
i)
문제 6-6-13> 로 놓고 연습문제 5와 예제 1(a) (x를 y로 바꾸어서)를 이용하여 예제3의 다른 해를 구하여라.
풀이>라고 하면 이고 예제 1(a)에 의해서
연습문제5에 의해서
문제 6-6-14> 식 5를 각각 (a) 예제 3의 방법을 이용하여 (b)아래 사실을 이용하여 증명하여라.
풀이>a) 라고 하면
b) 라고 하면 이므로
문제 6-6-15> 표 6에 있는 다음 함수들의 도함수에 대한 식들을 증명하여라.
a) b)
c) d)
e)
풀이>a) 라고 하면 이고 이므로
b) 라고 하면
c) 라고 하면
연습문제 7에 의해서 에서
x>0이면 이므로
x<0이면 이므로
따라서
d) 라고 하면
e) 라고 하면
문제 6-6-16~24> 다음 함수의 도함수를 구하여라.
문제 16>
풀이>
문제 17>
풀이>
문제 18>
풀이>
문제 19>
풀이>
문제 20>
풀이>
문제 21>
풀이>
문제 22>
풀이>
문제 23>
풀이>
문제 24>
풀이>
문제 6-6-25> 14m 떨어진 두 장대 사이에 걸려있는 전화선의 모양이 곡선 의 형태를 하고 있다. 여기서 x, y의 단위는 미터이다.
a) 오른편 장대와의 교점에서 곡선의 기울기를 구하여라.
b) 전화선과 장대 사이의 각 를 구하여라.
풀이> a)
오른쪽 장대의 위치가 x=7이므로
b) 가 x축과 접선 사이의 각도라면 직선의 기울기 이므로
따라서
문제 6-6-26> a) 함수 는 미분방정식 을 만족함을 보여라.
b) 그리고 을 만족하는 을 구하여라.
풀이>a)
b) a)에서 을 만족하는 이므로
-4 = y(0) = A sinh0 + B cosh0 = B이므로 B=-4
이므로
문제 6-6-27> 곡선 는 그 위의 어느점에서 기울기가 1인 접선을 가지는가?
풀이> (식 3에 의해서)
이고 이므로
따라서 점 에서 기울기가 1인 접선을 갖는다.
문제 6-6-28~32> 다음 적분을 구하여라.
문제 28>
풀이>라고 하면 이므로
문제 29>
풀이>라고 하면 이므로
문제 30>
풀이>
문제 31>
풀이>라고 하면
또는
문제 32>
풀이> 라고 하면 이므로
[또는 ]
문제 6-6-33> a) 뉴턴 방법이나 그래프를 그리는 도구를 이용하여 의 근사해를 구하여라.
b) 와 로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하여라.
풀이>a) 그래프로부터 두 곡선 와 가 x=0과 에서 교차하는 것으로 추정할 수 있다.
b) a)에서 의 두 근이 x=0과 이라는 것을 알았다. 구간 (0, a)에서 이므로 두 곡선 사이의 면적은
문제 6-6-34> 이면 가 와 같거나 또는
와 같은 수 가 존재함을 보여라.
풀이>라고 하면
와 의 상수를 비교하면 -----(1)
------(2)를 얻는다.
와 를 구하기 위해서 (1)을 (2)로 나누면
--------(*)
(1)과 (2)를 에 대해서 풀면 와 이므로
(*)에서 이면 cosh 함수를 얻기위해서 +부호를 사용하고
이면 sinh 함수를 얻기 위해서 - 부호를 사용한다.
요약하면 다음과 같다.
만약 a와 b가 같은 부호를 가지면
만약 a와 b가 다른 부호를 가지면

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