미적분학 6-2

본문내용

7>
풀이>
문제 18>
풀이>
문제 19>
풀이>
문제 20>
풀이>또는
문제 21>
풀이>
문제 6-2-22> 함수 에 대하여 점 (0,1)에서 접선의 방정식을 구하여라.
풀이>
(0,1)에서 따라서 접선의 방정식은
또는
문제 6-2-23> 에 대하여 을 구하여라.
풀이>
문제 6-2-24> 함수 가 미분방정식 을 만족함을 보여라.
풀이> 따라서
문제 6-2-25> 어떤 값 r에 대하여 가 방정식 을 만족하는가?
풀이> 따라서 가 를 만족하면 이 된다. 즉, 이 된다.
모든 x에 대해서 이므로 이 되어야 한다.
그러므로 또는
문제 6-2-26> 일 때 를 구하여라.
풀이>
문제 6-2-27> a) 중간값 정리를 이용하여 방정식 의 해가 존재한다는 것을 보여라.
b) 뉴턴방법을 이용하여 a)의 방정식의 근을 소숫점 아래 여섯째 자리까지 구하여라.
풀이>a) 는 R에서 연속이고 이므로 중간값 정리에 의해서 은 (-1,0)구간에서 근을 갖는다.
b) 이므로
를 사용하면 이므로
소숫점 아래 여섯째 자리까지의 근은 -0.567143이다.
문제 6-2-28> 스트론튬 의 초기질량은 24 mg이다. 식4로부터 t년후에 남아았는 의 질량 m(t) 는 이다.
a) 40년 후에 남아있는 의 질량은 얼마인가?
b) (7)과 연쇄법칙을 이용하여 40년 후에 질량의 감쇄율을 계산하여라.
c) 5mg까지 붕괴되는 데 걸리는 시간을 계산하기 위하여 그래프를 이용하여라.
풀이>a)
b)
c) 그래프로부터 인 점은 년이다.
문제 6-2-29> 어떤 환경에서 소문은 아래 식 p(t)에 따라 퍼져나간다.
여기서 p(t)는 시점 t에서 소문을 알고있는 인구의 비율이고 a, k는 상수이다.
a) 를 구하여라.
b) 소문이 퍼지는 비율을 구하여라.
c) a=10, k=0.5인 경우의 p(t)의 그래프를 그리고, 이 그래프를 이용하여 인구의 80%가 소문을 듣는데 걸리는 시간을 측정하여라.
풀이>a) (k>0이므로 )
b)
c) 그래프로부터 p(t)=0.8은 시간 이다.
문제 6-2-30> 카메라 플래시는 콘덴서에 충전을 하거나 플래시가 터질 때 갑자기 셔트를 개폐함으로써 작동한다. 주어진 자료는 t초 후 콘덴서에 남아있는 충전량을 나타낸다. (단위는 마이크로쿨롱, )
t
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
Q
100.00
81.87
67.03
54.88
44.93
36.76
a) 그래프를 그릴수 있는 계산기나 컴퓨터를 이용하여 충전량에 대한 지수모델을 구하여라.
b) 도함수 는 콘덴서로부터 플래시전구까지의 전류의 흐름을 나타낸다. (단위는 마이크로 암페어, ) t=0.04초일 때 전류의 흐름을 구하여라. 그 결과를 1.1절 예제 2와 비교하여라.
풀이>a) a= 100.0124369, b=0.000045145933
b) 또는 계산기 명령으로
1.1절 예제 2는 -670였음.
문제 6-2-31> 함수 의 최대값을 구하여라.
풀이>
모든 x<0에 대해서 이고 모든 x>0에 대해서 이므로
최대값은 f(0) = 0-1 = -1
문제 6-2-32> 함수 에 대하여
a) 증가 또는 감소구간
b) 오목한 구간
c) 변곡점을 각각 구하여라.
풀이>a)
이므로 f는 에서 증가하고 에서 감소한다.
b) 이므로
f는 에서 위로 오목이고 에서 아래로 오목이다.
c) 변곡점
문제 6-2-33~34> 3.5절의 지침 A~H 내용에 따라 다음 곡선들을 조사하여라.
문제 33>
풀이>A:
B: x절편 없음, y절편 = f(0) =
C: 대칭아님
D: (이므로) 따라서 y=1이 수평점근선
E: x=-1을 제외한 모든 x에서 이므로
f는 과 에서 증가
F: 극값없음
G:
따라서
f는 과 에서 위로 오목
에서 아래로 오목
변곡점
H:
문제 34>
풀이>A: D=R
B: y절편 = f(0) = 2
C: 대칭 아님
D: 점근선 없음
E: 에서
마찬가지로
f는 에서 감소, 에서 증가
F: 극소값은
G: 이므로
모든 x에 대해서 이고 f는 에서 위로 오목
변곡점 없음
문제 6-2-35> 함수 의 중요한 특성을 알 수 있는 f의 그래프를 그려라. 극대, 극소값을 추정한 후, 계산기를 이용하여 이 값들을 정확히 구하여라. 의 그래프를 이용하여 변곡점을 추정하여라.
풀이>일 때 이고 일 때 이다.
그래프로부터 f는 극소값 f(0.58) = 0.68과 극대값 f(-0.58) = 1.47을 갖는 것으로 보인다.
정확한 값을 구하기 위해 이고 이는 일 때 0이다.
즉 이다.
마이너스 근은 극대값 에 대응하고
플러스 근은 극소값 에 해당된다.
변곡점을 구하기 위해
이므로
그래프로부터 의 부호가 변하는 점은 와 으로 보이므로
변곡점은 ( -0.15, 1.15) 와 (-1.09, 0.82)이다.
문제 6-2-36~39> 다음 적분을 계산하여라.
문제 36>
풀이>라고 하면 이므로
문제 37>
풀이>라고 하면
문제 38>
풀이>
문제 39>
풀이> 라고 하면
문제 6-2-40> 곡선 로 둘러싸인 영역의 면적을 소숫점 아래 셋째 자리까지 정확하게 계산하여라.
풀이>면적 =
문제 6-2-41> 곡선 로 둘러싸인 부분을 x축 둘레로 회전시켰을 때 생기는 입체의 체적을 구하여라.
풀이>
문제 6-2-42> 일 때 을 구하여라.
풀이>
문제 6-2-43> a) 일 때 임을 보여라. (도우말: 가 x>0에 대하여 감소함수)
b) 임을 추론하여라.
풀이> a) 라고 하면
에 대해
f(0) =0이므로 f는 에서 증가한다.
에 대해
b) 에 대해 이므로
이므로
문제 6-2-44> a) 수학적 귀납법을 이용하여 일 때 모든 양의 정수 n에 대하여
임을 보여라.
b) a)의 결과를 이용하여 e > 2.7임을 보여라.
c) a)의 결과를 이용하여 모든 양의 정수 k에 대하여 다음을 보여라.
풀이> a) 문제43(a)의 결과로 n=1일 때 성립한다.
모든 에 대해서 라고 가정하자.
이라고 하면
따라서 f(x)는 에서 증가한다. 그러므로
는 를 의미하므로
모든 에 대해서 이다.
그러므로 모든 에 대해서 모든 양의 정수 n에서
이 성립한다.
b) n=4로 하고 x=1로 하면
c)
이므로

키워드

미적분학,   미분적분학,   솔루션