미적분학 10-1

목차

10.1 무한수열과 무한급수

본문내용

<풀이>
6.
<풀이>
7.
<풀이>
8~20. 다음수열의 수렴, 발산 여부를 결정하고 수렴하면 극한을 구하라.
8.
<풀이> : 발산
9.
<풀이> : 수렴
10.
<풀이> : 수렴
11.
<풀이>
∴ 압축정리에 의해
12.
<풀이> , : 진동
13.
<풀이> : 수렴
14.
<풀이> : 수렴
15.
<풀이> : 수렴
(∵ 로피탈정리에 의해)
16.
<풀이>
(∵압축정리에 의해)
17.
<풀이> 이라 하면,
(∵ 로피탈정리에 의해)
18.
<풀이>
(∵ )
19.
<풀이> n이 커져도 0과 1 두수를 갖는 수열이기 때문에 발산한다.
20.
<풀이>
∴ 발산한다.
21~24 생략
25. 연 6% 복리에 100만원 투자 시 n년 후의 투자금은 만원 이다.
(a) 수열 {}의 5개 항을 나열하라.
<풀이>
(b) 수열 {}의 수렴 발산 여부를 확인하라.
<풀이> (∵ r=1.06>1)
26. 수열 이 수렴하기 위한 r의 값은?
<풀이> 만약 이면, 이므로 발산.
만약 이면, : 수렴
∴ 일 때, 위 수열은 수렴.
27. 수열 {}이 증가수열이고 모든 항이 5와 8사이에 있을 때 극한을 갖는 이유를 설명하고 극한값에 대해 말하라.
<풀이> {}이 증가수열이기 때문에 모든 n에 대해, <이다.
수열의 모든 값이 5와 8 사이이므로 수열 {}은 유계수열이다.
따라서 수열 {}은 정리 11에 의해 수렴하고 극한값 8을 갖는다. (∵ 증가수열)
28~30 주어진 수열의 감소, 증가, 유계 여부를 확인하라.
28.
<풀이> 모든 n≥1에 대해, , ∴수열 {}은 감소수열 이고, 이므로 유계이다.
29.
<풀이> 이므로 유계이고, 단조수열은 아니다.
30.
<풀이> 이라 하면, 1보다 큰 모든 x에 대해 이므로
수열 {}은 단조감소수열이다.
1보다 큰 모든 n에 대해이므로 갖는 유계수열이다.
31. 수열 {}의 극한을 구하라.
<풀이> 이므로
∴
32. 에 의해 정의된 수열은 증가하고 모든 n에 대해 임을 보여라. 또한 수열 {}은 수렴한다는 것을 보이고 극한을 구하라.
<풀이>
이므로, 수열 {}은 증가수열이다.
이라 하면, 준식에 의해
33.
(a) 피보나치의 토끼문제 (잠시 대기)
<풀이> n번째 달의 토끼의 쌍의 수를 이라 하면 이다.
(b) 일 때, 임을 보이고 {}이 수렴할 때 극한값을 구하라.
<풀이>
이라 하면,
34. 생략
35. 수열에 대한 압축정리 (6) 증명.
<풀이> 만약 이라 하면 이고, 이므로 압축정리에
의해 이다.
36.
(a)
∴
같은 방법으로 , 이고, 모든 k에 대해 이다.
∴
이므로
이다.
k+1=n 이라 하면 이다.
(b) (a)에 의해 이므로 압축정리에 의해 수렴한다.
(c) 이라 하면,
37.
(a) {}이 p로 수렴한다면
(b)
(c) (b)에 의해
이를 일반화시키면 이고, ∴
(d) 라 하고 우선 이면 and 임을 증명한다.
n=0에서이므로 이다.
n=k에 대해 and 라 가정하자. 그러면, 이므로
이다.
∴ and

키워드

미적분학,   미분적분학,   솔루션