미적분학 6-7

본문내용

제 29>
풀이>
따라서
문제 30>
풀이>
따라서
또는
문제 31>
풀이>
문제 6-7-32> 그래프를 이용하여 극한값 을 추정하고 로피탈 법칙을 이용하여 정확한 값을 구하여라.
풀이>그래프로부터 처럼 보인다.
이를 증명하기 위해서 먼저
이면 ln1 = 0이 되므로
문제 6-7-33> , 에 대하여 x=0 근방에서 와 의 그래프를 그려서 이들이 일 때 같은 극한을 가짐을 확인함으로써 로피탈의 법칙을 설명하고, 또 정확한 극한값을 계산하여라.
풀이>그래프로부터 처럼 보인다.
문제 6-7-34~36> 필요할 때에는 로피탈의 법칙을 사용하여 3.5절의 A~H에 따라 곡선의 그래프를 그려라.
문제 34>
풀이>A: D=R
B: 절편은 0
C: 대칭 아님
D: 이므로 y=0이 수평점근선
E: 이므로
f는 에서 증가하고 에서 감소한다.
F: 극대값은
G: 이므로 f는 에서 위로 오목하고
에서 아래로 오목하다.
변곡점은
문제 35>
풀이>A: D=R
B: 절편은 0
C: f(-x)＝f(x) 이므로 원점에 대해서 대칭
D: 따라서 y=0 이 수평 점근선
E: 이므로
f는 에서 증가하고 와 에서 감소한다.
F: 극대값은
극소값은
G:
또는 이므로
f는 과 에서 위로 오목하고
과 에서 아래로 오목하다.
변곡점은 (0,0)과 이다.
문제 36>
풀이>A:
B: 절편은 0
C: 대칭성 없음
D: 따라서 x=-1이 수직 점근선
이므로
E: 이므로
f는 에서 증가하고 (-1,0)에서 감소한다.
F: f(0) = 0 이 최소값
G: 이므로 f는 에서 위로 오목
문제 6-7-37~38> a) 함수의 그래프를 그려라.
b) 로피탈의 법칙을 이용하여 나 에 따른 함수의 변화를 설명하여라.
c) 최대값과 최소값을 추정한 후 미적분학을 이용하여 정확한 값을 구하여라.
d) 의 그래프를 이용하여 변곡점의 x좌표를 구하여라.
문제 37>
풀이>a)
b) 에서
이므로
따라서
c) 그래프로부터 에서 최대값이 존재하는 것으로 보인다.
정확한 값을 구하기 위해 를 미분을 하면
가 되고
이는 일 때 0이므로 이다.
또한 는 에서 양수에서 음수로 바뀌므로 극대값은
d)
의 그래프로부터 는 x=1에서 음수에서 양수로 바뀌므로
f는 x=1에서 변곡점을 갖는다고 추정할 수 있다.
문제 38>
풀이>a)
b) 인 사실을 상기하면 가 된다.
이면 이므로 이 된다.
이는 (0,0)에서 홀이 있다는 것을 나타낸다.
이면 의 부정형이 되므로 에서
이므로 이 된다.
이는 y=1이 수평점근선임을 나타낸다.
c) 극대값은 (2.72, 1.45)로 추정되고 극소값은 없다.
극값을 찾기 위해서 로그 미분을 사용한다.
에서 이고 에서 이므로
가 극대값이다. 이 점은 대략 (2.7183, 1.4447)이므로 우리의 추정과
일치한다.
d) 그래프로부터 과 에서 임을 알 수 있다.
이 이들 값에서 부호가 변하므로 이들이 x축상의 변곡점들이다.
문제 6-7-39> c가 실수일 때 로 주어진 곡선군을 조사하여라. 우선 일 때 극한을 계산하여라. 기본형태가 변하는 점에서 c의 변화값을 판별하여라. c가 변하면 최대점, 최소점, 변곡점에서 어떤 일이 생기는가? 곡선군 중에서 몇 개의 그래프를 그려서 설명하여라.
풀이>c<0이면 이고 이다.
c>0이면 이고 이다
c=0이면 이므로 이다.
따라서 c=0이 변화값이 된다.
c=0인 경우를 제외하면 f의 극대 극소를 찾기 위해서 f(x)를 미분하면
이고
이는 에서 0이 된다.
만약 c<0 이면 가 에서 음수에서 양수로 바뀌므로
이는 극소값 를 나타낸다.
만약 c>0 이면 이는 극대값을 나타낸다.
|c|가 증가할수록 극대점과 극소점은 원점에 더 가까워진다.
변곡점을 찾기위해 다시 미분을 하면
이는 에서 부호가 바뀌므로 |c|가 증가하면 변곡점은 원점에 가까워진다.
문제 6-7-40> 초기 금액 가 이자율 i로 투자되고 일년에 n번 복리로 계산된다. t년 후 투자 된 금액은 이다. 라면 이자는 계속적으로 복리로 계산된다. 로피탈의 법칙을 사용하여 이자가 연속복리로 계산되면 n년 후 투자금액은 임을 보여라.
풀이>먼저 를 찾자. 이는 형이므로
이므로
따라서 일 때
문제 6-7-41> 4.3절에서 광파의 회절연구에서 발생한 Fresnel 함수
을 조사하였다. 을 계산하여라.
풀이>일 때 분모와 분자가 모두 0으로 접근하므로 로피탈의 법칙을 이용하자.
문제 6-7-42> 이 연속이고 f(2)＝0，이면
을 구하여라.
풀이>
문제 6-7-43> 이 연속이면 로피탈의 법칙을 이용하여
임을 보여라.
풀이>이므로
는 와 사이의 할선의 기울기이다. 이면 이 직선은 접선과 가까워지므로 이 기울기는 f'(x)에 접근한다.
문제 6-7-44> 임의의 정수 n에 대하여 임을 보여라. 이것은 지수함수가 x의 어떤 멱함수보다 더 빠르게 에 접근함을 보여준다.
풀이>
문제 6-7-45> 임의의 에 대하여 임을 증명하여라.
풀이>(이므로)
문제 6-7-46> 그림은 중심각이 인 부채꼴이다. 가 현 PR와 호 PR 사이의 영역이라 하고 을 삼각형 PQR의 넓이라 하자. 를 구하여라.
풀이>원의 반경을 r이라고 하자. 는 반경이 1인 부채꼴 전체 면적에서 △OPQ의 면적을 뺀 면적이다. 부채꼴 전체의 면적은 이고
삼각형의 면적은 이다.
따라서 이다. 기본 삼각법에 의해서
이다.
그러므로 우리가 원하는 극한은
문제 6-7-47> 이라고 하자.
a) 도함수의 정의를 이용하여 을 구하여라.
b) f가 R에서 정의되는 모든 계수의 도함수를 가짐을 보여라. (도움말 : 우선, 귀납법에 의하여 에 대하여 을 만족하는 다항식 와 음이 아닌 정수 이 존재함을 보여라.)
풀이>a) 모든 정수 에 대해서 임을 보일 것이다.
이라고 하면
따라서
b) 연쇄법칙과 몫의 법칙에 따라서 에 대해서 는 존재한다. 사실 귀납법에 의해서 각각의 에 대해서 다항식 이 있고
에 대해서 인 음이 아닌 정수 이 존재한다.
이는 n=0일 때 사실이고 n번 째 미분에 대해서도 사실이라고 가정하면
이므로
으로 원하는 형태이다.
이제 귀납법에 의해서 모든 n에 대해서 임을 보이자.
(a)에서 이었고 이라고 가정하면

키워드

미적분학,   미분적분학,   솔루션