미적분학 10-8

목차

10. 8 멱급수

1. 멱급수란?

2~14. 수렴반경과 수렴구간을 구하라.

본문내용

비판정법에 의해 일 때 수렴한다.
∴수렴반경 은 1이다.
그런데 인 경우 은 인 p-급수이므로 발산한다.
일 때 은 교대급수판정법에 의해 수렴한다.
∴수렴구간 이다.
3.
<풀이> 이라 하면,
비판정법에 의해 는 일 때 수렴한다.
∴수렴반경 이다.
일 때 는 교대급수판정법에 의해 수렴하고,
일 때 은 인 수렴하는 p-급수이므로
수렴구간 이다.
4.
<풀이> 이라 하면,
이므로
비판정법에 의해 는 절대수렴한다.
∴
5.
<풀이>
∴
일 때 은 발산하고, 일 때 도 발산하므로
∴
6.
<풀이>
∴
일 때 은 교대급수판정법에 의해 수렴하고,
일 때 은 인 p-급수로 발산하므로
∴
7.
<풀이> 이라 하면,
∴
일 때
이고 은 발산하므로 비교판정법에 의해
은 발산한다.
일 때 은 교대급수판정법에 의해 수렴한다.
∴
8.
<풀이> 이라 하면,
비판정법에 의해 일 때 는 수렴한다.
∴
일 때 은 발산하고, 일 때 도 발산한다.
∴
9.
<풀이> 이라 하면,
비판정법에 의해 는 일 때 수렴한다.
∴
일 때 이므로 발산하고,
일 때 이므로 교대급수판정법에 의해 수렴.
∴
10.
<풀이> 이라 하면
이므로 근판정법에 의해
11.
<풀이> 이라 하면,
비판정법에 의해 는
일 때 수렴하므로
일 때, 이므로 는 발산한다.
∴
12.
<풀이> 이라 하면, 인 모든 에 대해
이다.
∴는 인 모든 에서 발산하므로 이다.
13.
<풀이>
이 수렴하기 위해서는 비판정법에 의해
∴
일 때 이므로 교대급수판정법에 의해 수렴한다.
일 때 이므로 인 p-급수로 수렴한다.
∴
14.
<풀이> 이라 하면, 모든 에 대해
이므로 근판정법에 의해 는 모든
구간에서 수렴한다.
∴
15. 이 수렴할 때
(a)
<풀이> 주어진 멱급수 가 수렴하므로 정리 (3)에 의해 에서 수렴해야
한다.
∴는 수렴한다.
(b)
<풀이> 수렴하지 않는다. (정리 (3) 설명 참조)
16.
<풀이> 이라 하면,
∴
17. : 베셀함수
(a) 이라 하면, 모든 에 대해
∴는 모든 에 대해 수렴하고 정의역은 이다.
(b), (c) 생략
18. , 모든 에 대해
<풀이>
∴일 때 이고,
∴이고,
19.
<풀이> 에 근판정법을 적용했을 때,
이어야 수렴한다.
∴이다.
20. 12.2.31
<풀이> 에 대해 는 발산하고, 은 수렴한다.
연습문제 12.2.31에 의해 은 발산한다.
두 급수 모두 일 때 수렴하므로 의 수렴반경은 .

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