미적분학 10-6

목차

10. 6 절대수렴과 비판정법 및 근판정법

본문내용

10. 6 절대수렴과 비판정법 및 근판정법
1.
(a)
<풀이> 이므로 비판정법에 의해 은 발산한다.
(b)
<풀이> 이므로 비판정법에 의해 은 수렴한다.
(c)
<풀이> 이므로 비판정법을 사용할 수 없고 은 수렴할 수도 있고
발산할 수도 있다.
2~14. 절대수렴, 조건부수렴, 발산의 판정
2.
<풀이> 이므로
비판정법에 의해 수렴.
3.
<풀이> 교대급수 판정법에 의하면 는 수렴하지만
은 인 p-급수이므로 발산한다.
∴는 조건부 수렴한다.
4.
<풀이> 이므로 발산한다
5.
<풀이>
이므로 비판정법에 의해 절대수렴.
6.
<풀이> 이 인 p-급수이므로
는 수렴하고, 는 절대수렴한다.
7.
<풀이> 이므로
비판정법에 의해 는 절대수렴한다.
8.
<풀이>
비판정법에 의해 는 절대수렴한다.
9.
<풀이> 이 감소수열이므로 교대급수판정법에 의해 는
수렴한다.
, 즉 이면, 은 발산하는 조화수열이기 때문에 은
비교판정법에 의해 발산한다.
∴는 조건부수렴한다.
10.
<풀이> 이고, 이 수렴하므로 (연습문제 10.4.5에 의해)
는 비교판정법에 의해 절대수렴한다.
11.
<풀이>
∴는 근판정법에 의해 발산한다.
12.
<풀이>
∴는 근판정법에 의해 수렴한다.
13.
<풀이> 준식
∴주어진 수열은 절대수렴한다.
14.
<풀이>
이므로 는 발산한다.
15. 의 의 수렴, 발산 판정
<풀이> 이므로 비판정법에 의해 발산한다.
16.
(a)
<풀이> : 판정불가
(b)
<풀이> : 수렴
(c)
<풀이> : 발산
(d)
<풀이> : 판정불가
17.
(a)
<풀이>
∴비판정법에 의해 는 모든 x에 대해 수렴한다.
(b) 모든 x에 대해 임을 증명
<풀이> 위 (a)의 급수가 항상 수렴하므로 정리 10.2.6에 의해 이다.
18.
(a)
(*)
(b) 이 증가수열이기 때문에 일 때, 이므로 모든 L에 대해 이다.
위 (*)에서
19.
(a)
∴
(b)
, ∴
20. 이 수렴이면
<풀이> 부등식 을 모두 합하면,
21.
(a) 이 절대수렴하고 이므로 비교판정법에 의해
모두 절대수렴 해야 한다. (by 정리 10.2.8)
(b) 귀류법 사용
가 수렴한다면 정리 10.2.8에 의해 이다.
그런데 이고,
이 조건부 수렴하므로 은 발산한다.
이는 가 수렴한다는 가정에 모순이므로 는 발산한다.
마찬가지 방법으로 도 발산한다.

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