미적분학 7-3

목차

01~21

본문내용

문제 7-3-1~2> 지시된 삼각치환을 사용하여 적분을 계산하고 그와 관련된 직각삼각형을 그려라.
문제 1> ;
풀이>또는 라고 하면
이고
이므로
문제 2> ;
풀이>라고 하면
이고
이다.
()
문제 7-3-3~15> 적분을 계산하여라.
문제 3>
풀이>라고 하면 이고
이 되므로
문제 4>
풀이>라고 하면 이므로
문제 5>
풀이>라고 하면 이고
문제 6>
풀이>라고 하면 , 이고
이므로
문제 7>
풀이>또는 라고 하면
이고 이므로
문제 8>
풀이>라고 하면 이고
문제 9>
풀이>이라고 하면 이므로
문제 10>
풀이>라고 하면 이고 이므로
문제 11>
풀이>라고 하면 이고
문제 12>
풀이>이고
라고 하면 이므로
문제 13>
풀이>이므로 이라고 하면 이므로
이다
또는 라고 하면
이고 이므로
문제 14>
풀이>이고
라고하면
[ ]
문제 15>
풀이>라고하면
]
문제 7-3-16> a) 삼각치환을 이용하여
임을 보여라.
b) 쌍곡선 함수 치환 를 이용하여
임을 보여라. 이 식은 6.6절의 식 3과 관련된다.
풀이>a) 라고하면 이고
()
b) 라고 하면 이고 이므로
문제 7-3-17> 일 때 의 평균값을 구하여라.
풀이>
[ ]
문제 7-3-18> 반지름이 r이고 중심각이 인 원의 일부분의 넓이에 대한 식은 임을 보여라. (힌트: 이고 원점이 중심인 원이라면 방정식 을 갖는다. 이 때 A는 삼각형 POQ의 넓이와 영역 PQR의 넓이의 합이다.
풀이> 넓이
영역 PQR의 면적=
라고 하면 에 대해서 이므로
따라서 영역 PQR의 면적 =
따라서 POR의 면적 = POQ의 면적 + PQR의 면적 =
문제 7-3-19> 그래프를 이용하여 방정식 의 근사값을 계산하여라. 또 곡선 과 직선 에 의하여 생기는 영역의 넓이를 구하여라.
풀이>그래프로부터 곡선과 직선는 대략 x=0.81과 x=2에서 교차하고 영역(0.81, 2)에서 이다. 따라서 곡선과 직선으로 둘러싸인 면적 이다.
적분을 계산하기 위해서 라고하면
이므로
따라서
문제 7-3-20> 아래 그림을 참조하여 반지름 R와 r인 원에 의하여 생긴 초승달모양(활꼴이라 불린다.)의 넓이를 구하여라.
풀이>큰원의 방정식을 이라고 하고 작은 원의 방정식을 이라고 하자. 여기서 으로 두 원의 중심간의 거리이다.
구하고자 하는면적
첫 번째 적분은 이다.
나머지 두 적분을 구하기 위해서 다음을 상기하자.
[ ]
따라서 구할 면적은
문제 7-3-21> 원 을 x축 둘레로 회전시킴으로써 원환체를 얻을수 있다. 이 원환체의 부피를 구하여라.
풀이>원주각 방법을 사용하고 R>r이라고 가정하자.
이므로
이고
[]
[ ]

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