대학 미분 과정

목차

제4장 미분
§1 함수의 극한
【1】δ근방
[2] ε-δ논법
[3] 함수의 극한에 관한 기본정리
[4] 한 쪽 극한
[5] 함수의 연속
[6] ε-δ논법으로 연속의 정의
[7] 구간에서 연속
[8] 최대값과 최소값의 정리, 중간값의 정리
§2 미분법
[1] 미분계수(1)
[2] 미분계수(2)
[3] 미분가능과 연속
[4] 도함수의 정의
[5] 미분공식(1)
[6] 몫의 도함수
[7] 연쇄법칙
[8] 음함수의 도함수
[9] 삼각함수의 도함수(1)
[10] 삼각함수의 도함수(2)
[11] 로그함수의 도함수
[12] 지수함수의 도함수
[13] 매개변수의 도함수
[14] 역함수의 도함수
[15] 쌍곡선함수
[16] 쌍곡선함수의 역함수와 도함수
[17] 고계도함수
§3. 도함수의 응용
[1] 미분
[2] Rolle의 정리
[3] 평균치의 정리
[4] 평균치 정리의 응용
[5] 로피탈의 법칙과 부정형

본문내용

증명하라.
(1)
(2)
8. 가 에서 다음을 만족 하는 의 범위를 구하라.
(단, )
<예제>
4. 가 폐구간에서 연속이고 의 내부에서 미분 가능하다
모든 의 모든 점에서 이면 는에서 증가함수임을 증명하라.
5. 일 때, 을 증명하라.

<출제의도>
4. 평균치의 정리 활용
5. 평균치의 정리 활용
<모범답안>
4. ,가 모두 의 원소라 하고 라 하자.
가 폐구간에서 연속이고 의 내부에서 미분 가능하므로 는 에서 평균치의
정리가 성립한다.
따라서, 인 가 와 사이에 적어도 한 개 존재한다.
위를 변형하면
이면 이므로
∴ 는에서 증가함수 증명 끝
5. 는 에서 연속 ㉠
는 에서 미분가능 ㉡
위㉠,㉡에서 평균치의 정리에 의하여 다음이 성립한다.
인 가 적어도 한 개 존재
⇔ ㉢
한 편 , 에서 ㉣
위㉢을 ㉣에 대입하면
∴ 증명 끝
▶ 따라하기 ◀
9. 가 폐구간에서 연속이고 의 내부에서 미분 가능하다
모든 의 모든 점에서 이면 는에서 감소함수임을 증명하라
10. 일 때, 임을 증명하라.
[3] 따라하기의 정답과 해설
1. 은 에서 연속이나 에서 미분 불가능
( ∵ 에서 미분 불가능)
∴ 평균치의 정리가 성립하지 않는다. 답
2. (1) 은 에서 연속이나 에서 미분불가능
( ∵ 에서 미분 불가능)
∴ 평균치의 정리가 성립하지 않는다. 답
(2) 은 에서 연속이고 에서 미분가능
∴ 평균치의 정리가 성립한다. 답
(3) 은에서 연속이나 에서 미분불가능
( ∵ 에서 미분 불가능)
∴ 평균치의 정리가 성립하지 않는다. 답
(4) 은은에서 연속이나 에서 미분불가능
( ∵ 에서 미분 불가능)
∴ 평균치의 정리가 성립하지 않는다. 답
3. (1)부터 (4) 모두 평균치의 조건을 만족 한다.
(1)
⇔ 에서 또는
이 중ㅇ에서 답
(2)
⇔
∴ 답
(3)
⇔
∴ 답
(4)
⇔
∴ 또는 답
4. 는 모든 실수에서 연속이고 미분가능 (∵ )
따라서 는 에서 연속,에서 미분가능 하므로 다음이 성립
에서
이므로 는 상수 증명 끝
5.라 하면
위 문제에 의하여 는 상수다.
곧, 증명 끝
6. 는 에서 연속이고, 에서 미분가능 하므로
에서 평균치의 정리가 성립한다.
㉠
위 ㉠을 ㉡ 로 고칠 수 있다.
㉠을 ㉡에 대입하여
답
7. (1) 는 에서 연속이고,에서 미분가능하므로 다음이 성립
⇔
⇔
∴ 증명 끝
(2) ) 는 에서 연속이고,에서 미분가능하므로 다음이 성립
⇔
⇔
∴ 증명 끝
8. 가 에서 연속이고 에서 미분가능 하므로 다음이 성립한다.
⇔ 에서 을 얻는데,이는 를 만족 한다.
∴ 답
9. ,가 모두 의 원소라 하고 라 하자.
가 폐구간에서 연속이고 의 내부에서 미분 가능하므로 는 에서 평균치의
정리가 성립한다.
따라서, 인 가 와 사이에 적어도 한 개 존재한다.
위를 변형하면
이므로 이면
∴는에서 감소함수 증명 끝
10. 는 에서 연속이고 에서 미분가능하므로 다음이 성립
∴ ㉠
다시 는 에서 연속이고에서 미분가능하므로 다음이 성립
에서
㉡
위㉠과㉡에서
증명 끝
[4] 평균치 정리의 응용
<원리>
1. 평균치의 정리 응용
가 미분가능하면 에 대하여 다음이 성립한다.

<해설>
1. ㉠ 인 가 와 사이에 적어도 한 개 존재
이 때, 라 하면 이고 ㉡ 가 성립
위㉡을 ㉠에 대입하여 정리하면 증명 끝
<예제>
1. 에서 가 다음을 만족 할 때, 을 구하라.
, (단, )

<출제의도>
1. 지시한 대로 계산한다.
<모범답안>
1.
⇔
⇔
⇔ 의 양변을 제곱하여 정리하면
에서
∴ 답
▶ 따라하기 ◀
1. 다음 함수가 을 만족하는 의 값을 구하라.
(1)
(2)
(3)
[4] 따라하기의 정답과 해설
1. (1) 을 정리하면
∴ 답
(2) 을 정리하면
답
(3) 을 정리하면
답
[5] 로피탈의 법칙과 부정형
<원리>
1. 코시(Cauchy)의 정리
가 모두 에서 연속이고 에서 미분가능하고,
이면 사이에 가 적어도 한 개 존재하여
2. 로피탈(L'Hospital)의 법칙
가 모두 를 포함하는 구간에서 미분가능하고이고
, 이다.
, , , 또는 일 때,
, 이고 이면 이다.

<해설>
1. Roll의 정리를 활용하기 위하여 새로운 함수 를 다음과 같이 놓자.
이 때, 는“가 모두 에서 연속이고 에서 미분가능”하고
(∵ , )로부터 는 Roll의 정리가 성립한다.
따라서,
∴ 답
2. 가 모두 에서 존재하고 이다.
가정에서 이고 는 모두 에서 연속이다.
위 코시의 정리에 의하여 와 사이에 가 존재하여
①
위①은 일 때
일 때도 같은 방법으로 증명된다.
위를 정리하면 일 때도 증명된다.
일 때는 로 놓으면=
일 때도 같은 방법으로 증명된다.
이상을 정리하면 로피탈의 법칙이 성립한다. 답
<예제>
1. 다음의 극한값을 구하라
(1) (2) (3)

<출제의도>
1. (1) 꼴로서 로피탈의 법칙을 활용
(2) 꼴을 꼴로 고쳐서 로피탈의 법칙을 활용
(3) 꼴을 꼴로 고쳐서 로피탈의 법칙을 활용
<모범답안>
1. (1) 답
(2)
답
(3) ⇔
∴ 답
▶ 따라하기 ◀
1. 다음의 극한값을 구하라.
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
<예제>
2. 다음의 극한값을 구하라.
(1) (2) (3) (4)

<출제의도>
2. (1) 꼴의 극한도 로피탈의 법칙을 활용한다.
(2) 꼴로서 꼴로 고쳐서 로피탈의 법칙을 활용한다
(3) 꼴로서 꼴로 고쳐서 로피탈의 법칙을 활용한다
(4) 꼴로서 꼴로 고쳐서 로피탈의 법칙을 활용한다
<모범답안>
2. (1)
∴ 답
(2) 라 하고 양변에 자연로그를 취하여 극한을 구한다.
∴ 답
(3)
. ∴ 답
(4) 로 놓고 의 극한값을 구한다.
∴ 답
▶ 따라하기 ◀
2. 다음의 극한값을 구하라.
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
[5] 따라하기의 정답과 해설
1. (1) 답
(2) 답
(3) 라하고 양변에 자연로그를 택하여 극한값을 구한다.
답
(4) 라하고 양변에 자연로그를 택하여 극한값을 구한다.
또는 답
(5)
답
(6)
답
2. (1) 답
(2) 답
(3) 답
(4) 답
(5) 답
(6) 답

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공학,   미분,   정리