미분의 정리와 개념

소개글

미분의 정리와 개념에 대한 보고서 자료입니다.

목차

1.미분의 정의

2.전미분

본문내용

f(x,y)는 곡면으로 나타낼 수 있으며, 그 곡면에서 모자의 꼭대기처럼 된 점이 극대, 사발의 밑바닥처럼 된 점이 극소이다.
극대극소 찾는 방법
미분법은 곡선에 접선을 그리는 문제와 함수의 극대·극소값을 구하는 데에서 유래되었다. 케플러는 함수의 증분은 보통의 극대 또는 극소값 근방에서는 무한소가 된다는 것을 알게 되었고, 페르마가 이 사실을 극대값과 극소값을 결정하는 방법으로 변형시켰다. 간략하게 이 방법을 고찰해 보면, f(x) 가 x 에서 보통의 극대값 또는 극소값을 갖고 e가 매우 작다면 f(x-e)의 값은 거의 f(x) 의 값과 같다. 그러므로 시험적으로 f(x-e)=f(x) 라 놓고 나서 e 가 0 을 갖게 함으로써 이 등식을 참이 되게 만든다. 그 결과로 생기는 등식의 근이 f(x)가 극대값 또는 극소값을 갖는 x 의 값이 된다.
그럼 페르마의 첫 번째 예 - 어떤 양을 곱이 최대가 되는 두 부분으로 나누는 것을 고찰함으로써 위의 방법을 예증해 보도록 하자. B 를 주어진 양이라고 하고 구하려는 부분을 A 와 B-A 로 나타내어
를 A(B-A) 와 같다고 하면 즉
그리고 양변을 E 로 나누면 다음을 얻는다.
　
E=0 으로 놓으면 2A=B 를 얻고, 결국 구하는 분할을 얻는다. 페르마의 설명의 논리가 완전 무결하지는 않지만 그의 방법은
으로 놓는 것, 즉 f(x) 의 도함수는 0과 같게 놓는 것과 같다는 사실이 밝혀졌다. 이것이 함수 f(x)의 극대, 극소를 구하는 관습적인 방법이며 때때로 교과서에는 '페르마의 방법'이라고 불리기도 한다. 그러나 페르마는 f(x)의 도함수가 0에 접근하는 것이 보통의 극대값, 극소값을 구하기 위한 충분조건은 아니고 필요조건일 뿐이라는 것은 알지 못했다. 또한 페르마의 방법은 극대값과 극소값을 구별하지 못한다.
페르마는 또한 방정식으로 주어진 곡선의 한 점에서의 접선을 구하는 일반적인 방법을 고안하였다. 그의 생각은 그 점에 대한 접선영(subtangent), 즉 x 축상의 접점에서 내린 수선의 발과 접선이 축과 만나는 점 사이의 선분을 찾는 것이다. 이 방법은 접선을 곡선과의 교점이 일치하려 할 때 할선의 극한으로서 생각하는 개념을 사용한다. 현대적 표기법을 사용하면 다음과 같다.
곡선의 방정식을 f(x,y)=0 으로 하고 점 (x,y) 에 대한 곡선의 접선영 a를 구해보자. 삼각형의 닯음을 이용하면 접선 위의 근접점의 좌표는
임을 쉽게 알 수 있다. 이점을 실험적으로 곡선위에 있는 것으로 취급하면 다음의 방정식을 얻을수 있다.
그러면 등호는 e 가 0값을 갖게 함으로써 참이 된다. 그리고 나서 접점의 x, y 좌표로 나타난 방정식을 풀어 접선영 a 를 구한다. 페르마는 이 같은 방법으로 타원, 사이클로이드, 시소이드, 콘코이드, 쿼드라트릭스와 데카르트의 엽선의 접선을 구했다. 데카르트의 엽상 곡선의 방정식
위의 임의의 점에서의 접선영을 찾음으로써 그 방법을 예증하여 보기로 하자. 위의 식에서 다음을 얻을 수 있다.
또는
그리고 e 로 나누고 e=0 으로 놓으면 다음을 얻는다.

키워드

미분,   전미분,   편미분,   함수,   공학,   경영통계학