[수학 미분][수학 적분][수학 벡터][수학 행렬][수학][미분][적분][벡터][행렬][수학교육]수학의 미분과 수학의 적분 및 수학의 벡터 그리고 수학의 행렬에 관한 고찰(수학, 미분, 적분, 벡터, 행렬, 수학교육)

소개글

[수학 미분][수학 적분][수학 벡터][수학 행렬][수학][미분][적분][벡터][행렬][수학교육]수학의 미분과 수학의 적분 및 수학의 벡터 그리고 수학의 행렬에 관한 고찰(수학, 미분, 적분, 벡터, 행렬, 수학교육)에 대한 보고서 자료입니다.

목차

Ⅰ. 개요

Ⅱ. 수학의 미분
1. 미분의 정의
2. 미분의 종류
1) 전미분
2) 편미분
3) 극대극소
4) 극대극소 찾는 방법

Ⅲ. 수학의 적분
1. 부정적분
2. 정적분
3. 정적분의 성질

Ⅳ. 수학의 벡터
1. 기하학적 의미의 벡터
2. 벡터의 연산
3. 벡터의 내적
4. 투사

Ⅴ. 수학의 행렬
1. 행렬의 연산
2. 행렬의 곱
3. 행렬의 종류

참고문헌

본문내용

따라서 극소가 극대보다 클 수도 있다. f(x)가 미분가능이고, 그 도함수(導函數) f\'(x)의 값이 x=xo 의 전후에서 극대이면f\'(x)의 부호는 ＋에서 －로 변하고, 극소일 때는 －에서 +로 변한다. 따라서 f\'(x)=0 이 된다.
이것을 이용하면 극대 극소를 구할 수 있다. 2변수의 함수 z=f(x,y)는 곡면으로 나타낼 수 있으며, 그 곡면에서 모자의 꼭대기처럼 된 점이 극대, 사발의 밑바닥처럼 된 점이 극소이다.
4) 극대극소 찾는 방법
미분법은 곡선에 접선을 그리는 문제와 함수의 극대극소값을 구하는 데에서 유래되었다. 케플러는 함수의 증분은 보통의 극대 또는 극소값 근방에서는 무한소가 된다는 것을 알게 되었고, 페르마가 이 사실을 극대값과 극소값을 결정하는 방법으로 변형시켰다. 간략하게 이 방법을 고찰해 보면, f(x) 가 x 에서 보통의 극대값 또는 극소값을 갖고 e가 매우 작다면 f(x-e)의 값은 거의 f(x) 의 값과 같다. 그러므로 시험적으로 f(x-e)=f(x) 라 놓고 나서 e 가 0 을 갖게 함으로써 이 등식을 참이 되게 만든다. 그 결과로 생기는 등식의 근이 f(x)가 극대값 또는 극소값을 갖는 x 의 값이 된다.
그럼 페르마의 첫 번째 예 - 어떤 양을 곱이 최대가 되는 두 부분으로 나누는 것을 고찰함으로써 위의 방법을 예증해 보도록 하자. B를 주어진 양이라고 하고 구하려는 부분을 A 와 B-A 로 나타내어
를 A(B-A) 와 같다고 하면 즉
그리고 양변을 E 로 나누면 다음을 얻는다.
으로 놓는 것, 즉 f(x) 의 도함수는 0과 같게 놓는 것과 같다는 사실이 밝혀졌다. 이것이 함수 f(x)의 극대, 극소를 구하는 관습적인 방법이며 때때로 교과서에는 \'페르마의 방법\'이라고 불리기도 한다. 그러나 페르마는 f(x)의 도함수가 0에 접근하는 것이 보통의 극대값, 극소값을 구하기 위한 충분조건은 아니고 필요조건일 뿐이라는 것은 알지 못했다. 또한 페르마의 방법은 극대값과 극소값을 구별하지 못한다.
페르마는 또한 방정식으로 주어진 곡선의 한 점에서의 접선을 구하는 일반적인 방법을 고안하였다. 그의 생각은 그 점에 대한 접선영(subtangent), 즉 x 축상의 접점에서 내린 수선의 발과 접선이 축과 만나는 점 사이의 선분을 찾는 것이다. 이 방법은 접선을 곡선과의 교점이 일치하려 할 때 할선의 극한으로서 생각하는 개념을 사용한다. 현대적 표기법을 사용하면 다음과 같다.
곡선의 방정식을 f(x,y)=0 으로 하고 점 (x,y) 에 대한 곡선의 접선영 a를 구해보자. 삼각형의 닮음을 이용하면 접선 위의 근접점의 좌표는
임을 쉽게 알 수 있다. 이점을 실험적으로 곡선위에 있는 것으로 취급하면 다음의 방정식을 얻을수 있다.
그러면 등호는 e 가 0값을 갖게 함으로써 참이 된다. 그리고 나서 접점의 x, y 좌표로 나타난 방정식을 풀어 접선영 a를 구한다. 페르마는 이 같은 방법으로 타원, 사이클로이드, 시소이드, 콘코이드, 쿼드라트릭스와 데카르트의 엽선의 접선을 구했다. 데카르트의 엽상 곡선의 방정식
위의 임의의 점에서의 접선영을 찾음으로써 그 방법을 예증하여 보기로 하자. 위의 식에서 다음을 얻을 수 있다.
또는
그리고 e 로 나누고 e=0 으로 놓으면 다음을 얻는다.
Ⅲ. 수학의 적분
1. 부정적분
정리 10-1 만약 이면, 는 의 원시함수 (역도함수, 부정적분)
Notation
정리 10-2 (적분공식)
①
②
③
④
⑤
⑥
2. 정적분
①면적=
⇒구간을 더 세분화
②면적=
③실제면적=
유도 (rough!)
∴ 면적 =
Notation
3. 정적분의 성질
1
2
3
①
②
Ⅳ. 수학의 벡터
1. 기하학적 의미의 벡터
: 방향과 크기를 갖는 선분
정의 ①영벡터: 0 ,
②음벡터:
2. 벡터의 연산
좌표 ※시작점을 원점으로 함
① 2차원에서 벡터는 (x, y) 좌표로 표현
② 3차원에서 벡터는 (x, y, z) 좌표로 표현
③
Note벡터의 합 +=
일반적으로
Note 스칼라곱
3. 벡터의 내적
정의
정의 내적
또는
주의) θ=0°일 때 최대 , θ=90°일 때 최소
정리2-2 (Schwartz의 부등식)
pf)
ex)
Note
정리2-3
proof)
정의 기초벡터: 길이가 1인 벡터를 단위벡터(unit vector), 단위벡터 중에서 한 좌표 값만 0이 아닌 경우를 기초벡터라 한다.
ex)
Note
단위벡터 만드는 법
ex)
4. 투사
Ⅴ. 수학의 행렬
표시
정방행렬 (square matrix)
m=n인 행렬 (즉, 행의수=열의수)
1. 행렬의 연산
◇의 dimension이 같아야 함)
◇ 스칼라 곱
정리2-6
Note
2. 행렬의 곱
A × B = C
정리2-7
일반적으로 교환법칙이 성립하지 않는다.
3. 행렬의 종류
(1) 정방행렬(square matrix)
행과 열의 수가 같은 행렬, m=n인 행렬
(2) 항등행렬(Identity matrix) (단위행렬:unit matrix)
대각선원소가 모주 1이고 나머지 원소는 0인 정방행렬
즉, , 단
(3) 역행렬(Inverse matrix)
이면 (단 는 정방행렬)
는 의 역행렬, 이라 적는다.
(4) 대각행렬(diagonal matrix)
대각선원소외에는 모두 0인 행렬
즉, , 단
(5) 삼각행렬(Triangular matrix)
대각선원소의 아래부분 혹은 윗부분의 원소가 모두 0인 행렬
상삼각행렬 , 단
하삼각행렬 , 단
(5) 전치행렬(Transpose matrix)
행렬 A의 행과 열을 바꾼 행렬 A\'
=>
정리
① (A+B)\' = A\'+B\'
② (AB)\' = B\'A\'
③ (A\')\' = A
④ (A-1)\' = (A\')-1 (역행렬이 존재할 때)
(7) 대칭행렬(Symmetric matrix)
A=A\' 이면 A는 대칭행렬
즉, , 단
참고문헌
강순자 외, 미분적분학, 경문사
고등 수학 1 미분 정의와 도함수 응용
고등학교 수학Ⅱ, 중앙교육진흥연구소
고등학교 수학Ⅱ, 천재교육
미분적분학의 이해와 응용, 학우사
미분방정식의 이해와 응용, 경문사
Keith Deviln 저, 허민·오혜경 옮김(1998), 수학 세계 탐험기, 경문사

키워드

수학,   미분,   적분,   벡터,   행렬