피보나치수열에 관한 연구

목차

본문
1. 피보나치수열의 일반항
2. 황금비와의 관계성
3. 서로소 판별법과 피보나치수열
4. 황금 로그 la(x)와 피보나치수열의 위치 어림

결론

본문내용

것을 황금 로그 값이라 하고, 밑이 황금비인 로그를 황금 로그라 한다.
또한 ‘점근적 등비수열’이라는 개념도 정의하자.
정의 : 수열 의 이웃한 두 항의 비 이 를 만족할 때, 수열 을 A에 대한 점근적 등비수열이라 한다. 즉, 모든 등비수열은 공비 r에 대한 점근적 등비수열이다.
모든 등비수열은 공비 r을 밑으로 하는 로그를 이용해 쉽게 관찰할 수 있다. 예를 들어 공비 r을 밑으로 하는 r-로그에 어떤 자연수를 넣어 계산했을 때, 그 자연수가 등비수열의 몇 번째 항들 사이에 있는지 알 수 있고, 반대의 관찰도 가능하다. 그렇다면 피보나치수열의 위치 어림에 관한 다음 명제를 증명해 보자.
명제 : 피보나치수열 에서, 라 할 때, 항상 다음의 관계식 을 만족한다. (단, 는 보다 작은 최대의 정수이다.)
proof 4)
= 이므로, 피보나치수열의 초항과 둘째 항의 값이 1이라는 것을 이용하면 이 식은 곧 가 된다. 여기서 로그 속 곱의 값은 ‘proof 2’ 에 의해 가 된다. 결국 전체 값은 가 되고, 증명은 완료된다.
여기서 사용한 를 간단히 나타내 라 하고, 황금 로그라 한다. 이를 이용하면 피보나치수열은 물론 그것의 여러 변형형도 쉽게 다룰 수 있다.
이제 ‘점근적 등비수열’에 관한 증명 한 가지를 소개하겠다.
명제 : 수열 이 점화식 을 만족하는, 에 관한 점근적 등비수열일 때, 오차수열 = 는 양수 항과 음수 항이 번갈아 나타나며 0에 수렴한다.
proof 5)
점화식 를 변형하면 가 되는데, 수열 은 에 관한 점근적 등비수열이므로 를 만족한다. 이제 오차수열 이 0으로 수렴하는 양의 단조감소수열이라 가정하자. 그러면 변형식 에서 좌변은 보다 큰 값에서 로 수렴하지만, 우변의 은 보다 작은 값에서 로 수렴한다. 그러면 좌변은 단조감소인데 비해 우변은 단조증가로, 모순이다. 이는 오차수열 이 0으로 수렴하는 음의 단조증가수열이라도 마찬가지이다. 만약 오차수열이 교대수렴수열이라면, 좌변이 보다 클 때 우변의 도 보다 크게 되고, 그 반대도 성립한다. 그러므로 오차수열 = 은 교대수렴수열이다.
결론
이제 모든 논증이 끝났다. 본 논문에서 피보나치수열의 일반항을 살펴보고 황금비와의 관계를 알았으며, 서로소 판별법을 통한 논지 역시 의미 있었다고 생각한다. 특히 마지막의 황금 로그와 점근적 등비수열에 관한 내용은 피보나치수열을 다루는 데 많은 도움을 줄 것이다. 이제 여기서 이 논문을 마무리하고자 한다.

키워드

피보나치,   수열,   연구