공통수학 방정식과 부등식

목차

제1장. 일차, 이차, 고차방정식

§1. 일차방정식의 해법

§2. 이차방정식의 해법

§3. 고차방정식의 해법

제2장. 연립방정식

§1. 연립 일차방정식의 해법

§2. 연립 이차방정식의 해법

§3. 부정방정식의 해법

제3장. 이차방정식의 판별식

§1. 이차방정식의 판별식

§2. 판별식의 응용

제4장. 근과 계수와의 관계

§1. 이차방정식의 근과 계수와의 관계

§2. 삼차방정식의 근과 계수와의 관계

§3. 고차방정식의 근과 계수와의 관계

제5장. 이차방정식의 이론

§1. 공 통 근

§2. 이차방정식의 정수근

§3. 이차방정식의 실근의 부호

제6장. 일차 ‧ 이차부등식

§1. 일차부등식

§2. 이차부등식

제7장. 여러 가지 부등식

§1. 절대부등식

§2. 여러 가지 부등식

본문내용

고, 이 때 ①은
②
이므로
에 ②를 대입하면
절대값 기호를 포함한 일차부등식
방정식의 경우와 같이 구간을 나누어 풀고, 그 구간에서의 해를 구한다.
【ex. 2】다음 각 부등식을 풀어라.
(1) (2)
(풀이) (1) 에서
물론, 으로 나누어서 풀어도 되지만 이 때는 위의 풀이가 간단하다.
(2) 절대값이 두 개이므로 구간을 세 가지로 나눈다.
(ⅰ) 일 때 :
일 때 인 해는 없다.
(ⅱ) 일 때 :
일 때 이므로 ①
(ⅲ) 일 때 :
일 때 이므로 ②
따라서, 구하는 해는 ①과 ②의 합집합이므로
부등식의 성질(2)
【ex. 3】일 때, 다음 □ 안에 알맞은 수를 써 넣어라.
(1) (2)
(3) (4)
[참고] 와 는 가 최대일 때 최대가 되고, 가 최소일 때 최소가 된다.
<주의>와 같이 범위에 음수가 있으면 곱셈과 나눗셈에서 주의해야 한다.
(1) (2)
곱에서는 가장 큰 것과 가장 작은 것을 구해야 하고,
몫에서는 가 에 가까운 음수이고 가 에 가까운 양수이면 에 가깝게
되고, 가 에 가까운 양수이고 도 에 가까운 양수이면 에 가깝게 된다.
§2. 이차부등식
이차부등식의 해법
이차부등식의 해법
(1)일 때, 인수분해한 다음, 아래 요령으로 푼다.
가 실수이고, 일 때
의 해는
의 해는
(2)일 때, 완전제곱꼴로 변형하여 푼다.
【ex. 1】다음 각 부등식을 풀어라. (인 경우 )
(1) ⇒
(2) ⇒
(3) ⇒ 를 풀면
【ex. 2】다음 각 부등식을 풀어라. (인 경우 )
(1) ⇒ 는 모든 실수
(2) ⇒ 인 모든 실수
(3) ⇒
(4) ⇒ 해가 없다.
【ex. 3】다음 각 부등식을 풀어라. (인 경우 )
(1) ⇒ 는 모든 실수
(2) ⇒ 해가 없다. ( )
[참고] 이차부등식의 해와 이차함수의 그래프의 관계
(1) 일 때 (2) 일 때 (3) 일 때
모든 실수 모든 실수
【ex. 4】의 부등식 을 풀어라.
(풀이) 에서
(ⅰ) 일 때 :
(ⅱ) 일 때 : 이 되므로 는 인 모든 실수
(ⅲ) 일 때 :
절대값 기호를 포함한 이차부등식
일차부등식의 경우와 같이 구간을 나누어 풀고, 그 구간에서의 해를 구한다.
【ex. 5】다음 부등식을 풀어라.
(1) (2)
(풀이) (1) 에서
에서 는 모든 실수①
에서 ②
①, ②를 동시에 만족하는 의 범위는
(2) (ⅰ) 곧, 일 때 :
,
그런데, 인 조건하에서 푼 것이므로
(ⅱ) 곧, 일 때 :
,
그런데, 인 조건하에서 푼 것이므로
따라서, 구하는 해는 (ⅰ), (ⅱ)의 합범위로서 ,
해가 주어진 이차부등식의 작성
(1) 해가인 이차부등식 ⇒
(2) 해가인 이차부등식 ⇒
【ex. 6】다음 물음에 답하여라.
(1) 이차부등식 의 해가 일 때, 이차부등식
의 해를 구하여라.
(2) 이차부등식 의 해가 일 때, 실수의 상수 의 값을
구하여라.
(풀이) (1) ⇔ ⇔
⇔ ⇔ ()
따라서, 은
(2) ⇔
⇔ ⇔
⇔ ()
에서 ()
연립 이차부등식
각각의 부등식의 해를 구하고, 수직선을 그려서 공통부분의 해를 구한다.
【ex. 7】실수 전체의 집합에 대한 부분집합 가
일 때, 를 만족시키는 실수 의 값을
구하여라.
(풀이)
이기 위해서는
이라야 하므로
⇔ ⇔ ⇔
제7장. 여러 가지 부등식
§1. 절대부등식
두 실수(또는 두 식) 의 대소 판정
(1) 에서 를 빼 본다.
⇔ , ⇔ , ⇔
(2)에서 을 빼 본다.
일 때, ⇔
(3) 의 비를 구해 본다. ( 를 로 나누어 본다.)
일 때, ⇔ , ⇔ , ⇔
【ex. 1】, 일 때, 와 의 대소를 비교하여
라.
(풀이)

( 단, 등호가 성립하는 것은 일 때이다.)
【ex. 2】일 때, 의 대소를 비교하여라.
(풀이)
그런데, 이므로
(단, 등호는 일 때 성립한다.)
【ex. 3】과 의 대소를 비교하여라.
(풀이)
거듭제곱, 거듭제곱근의 부등식
(1) 의 양, , 음에 관계없이
(2) 일 때,
(3) 이고, 이 양의 정수이면
,
기본적인 절대부등식
기본적인 절대부등식은 증명도 중요하지만, 문제 해결에 자주 이용되므로 공식으로 기억해 두는
것이 좋다.
절대부등식
어떤 실수에 대해서도 항상 성립하는 부등식을 절대부등식이라 한다.
가 실수일 때,
(1) (2)
(3),
(증명) (1)
(2)
(3)
(등호는 일 때 성립한다.)
[참고] ,
산술평균, 기하평균, 조화평균 산술평균기하평균조화평균
(1)
(2)
(3)
(위의 세 식에서 등호가 성립하는 것은 일 때이다.)
[참고] 산술평균을 , 기하평균을 , 조화평균을 라 한다.
( 산술평균기하평균조화평균 )을 보통
로 나타낸다.
【ex. 4】를 양수라 할 때, 다음 부등식을 증명하여라.
(1) (2)
(3) (4)
--------------------------------------------------------------------------------
(증명) (산술평균)(기하평균) 에 따라서
(1)
(2) , , 이므로
(3), 이므로
(4)
<주의>
①, ②를 변변 곱하면
이렇게 되면 위의 증명과 아래의 증명 중 어떤 것이 틀렸는가?
①에서 등호가 성립하는 것은 일 때이고, ②에서 등호가 성립하는 것은
일 때이므로 와 이 동시에 성립하는 경우는 없으므로 아래의 증명
이 틀린 것이다.
Cauchy-Schwarz(코시-슈바르츠)의 부등식
모든 문자가 실수일 때,
(1)
(2)
(3)
【ex. 5】다음 부등식을 증명하여라.
(1) 일 때,
(2) 일 때,
(증명) 코쉬-슈바르츠의 부등식에 따라서
(1)
이므로
(2)
이므로
【ex. 6】일 때, 의 최대값과 최소값을 구하여라.
(풀이) 코쉬-슈바르츠의 부등식에 따라서
이므로
따라서, 의 최대값은 14, 최소값은 -14
§2. 여러 가지 부등식
가우스기호를 포한한 부등식 는 반드시 정수이다.
【ex. 1】실수 에 대하여 을 만족하는 정수 을 로 나타낼 때, 다음 부등식을 만족시키는 의 범위를 구하여라.
(1) (2)
(풀이) (1) 으로부터
그런데, 는 정수이므로
(2) 에서
그런데, 는 정수이므로

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