[과외]고등 수학 방정식과 부등식 03

목차

문제61~90

본문내용

다. 이 이차방정식의 올바른 근을 구하여라.[신목, 동북]
79. 이차방정식의 한 근과 다른 한 근의 역수의 합을 두 근으로 하는 의 이차방정식은 과 같다. 의 값을 구하여라.[세화, 경문]
80. 이차방정식 의 두 근의 절대값의 비가 이 되도록 실수 의 값을 구하여라.[관악, 중동]
81. 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가질 때, 이차방정식 의 근을 판별하여라.
(단, 는 실수)[건대부, 자양]
82. 이 아닌 유리수이다. 이차방정식
의 한 근이 이라고 할 때, 다른 한근은? [장충, 장충여]
①②
③④
⑤
83. 실수 사이에 인 관계가 있을 때, 이차방정식
의 근을 판별하면?[대원외, 서울예]
① 실근을 갖는다.
② 중근을 갖는다.
③ 판별할 수 없다.
④ 서로 다른 두 실근을 갖는다.
⑤ 서로 다른 두 허근을 갖는다.
84. 이차방정식 이 중근을 가질 때,
점 의 자취의 길이는?[장훈, 상계]
①②③
④⑤
85. 이차방정식 의 두 근을 라 할 때, 두 수
을 근으로 하는 에 대한 이차방정식을 고르면?
[대신, 용산]
①②
③④
⑤
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86. 이차방정식 에 대한 의 설명 중 옳은 것을 모두 고르면? [명지여, 계성여]
보기
Ⅰ. 이 방정식의 근은 항상 근의 공식으로 구할 수 있다.
Ⅱ.
Ⅲ.(단, 는 실수)이면 판별식
이다.
① Ⅰ②Ⅰ, Ⅱ
③ Ⅰ, Ⅲ④Ⅱ, Ⅲ
⑤ Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ
87. 의 두 근의 절대값의 비가 일 때, 상수 의 값을 구하면?[화곡여, 양천여]
①②
③④
⑤
88. 의 두 근을, 이라 할 때, 에 대한 다음 설명 중 옳은 것을 고르면?[풍납여, 영파여]
① 는 모두 정수이다.
② 는 유리수, 는 정수이다.
③ 는 무리수, 는 정수이다.
④ 는 유리수, 는 무리수이다.
⑤ 는 정수, 는 유리수이다.
89. 가 소수이고, 이차방정식 이 서로 다른 두 양의 정수근을 가질 때, 다음 <보기> 중 옳은 것을 모두 고르면?
[선화여, 대일외]
보기
ㄱ. 두 근의 차는 홀수이다.
ㄴ. 적어도 하나의 근이 소수이다.
ㄷ.는 소수이다.
ㄹ. 는 소수이다.
① ㄱ② ㄴ③ ㄴ, ㄷ
④ ㄱ, ㄴ, ㄹ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ
90. 이 아닌 유리수이다. 이차방정식
의 한 근이 이라고 할 때, 다른 한 근은 는 유리수)라고 한다. 이 때, 의 값을 구하여라.[휘경여, 경희여]
61. 은 이차방정식이므로 ①
또, 서로 다른 실근을 가지므로
∴ ②
①, ②에서
62. 가운데 원의 반지름을 라 하자.
위의 그림에서
∴ ∴ ①
63.
이것을 에 대입하면
㉠
여기서
에서
∴ ㉡
㉠의 두 근중 큰 것이 , 작은 것이 이므로
㉡에 의하여
㉢
㉣
또,
∴ ㉤
㉢, ㉣, ㉤에서 ①
64. 에서
∴
또,
∴
∴ ①
65. 공통근을 라 하고, 상수항을 소거한다.
하면,
을 ①에 대입하면 (조건에 부적당)
을 ①에 대입하면 ∴
66. (1) 공통근을 라 하고, 최고차항을 소거한다.
하면
그런데 이면 ①, ②는 일치가 되어 오직 하나의 공통근을 갖는다는 조건에 어긋난다. ∴ 공통근 ∴
(2) 을 ①에 대입하면, ∴
(3) 공통이 아닌 근을 ①에서는 , ②에서는 라 하면, ①의 두 근은
②의 두 근은 이므로
∴
따라서, 를 두 근을 하는 이차방정식은
,
(2)로부터 이므로
67. (일차식)(일차식)(정수)꼴로 변형한다.
따라서, 양의 정수 는
또는
68. 두 근을 라 놓으면
에서
∴
또는 (∵ )
∴ ③
③을 ①에 대입하면
또, ③에서 두 근은
69. 근의 공식에 의하면,
가 정수이므로 이어야 한다.
(∵ 근호()안이 음수이면 는 허수가 되어 정수가 안 된다.)
∴ ∴
은 정수이므로
일 때, ①에서
일 때, ①에서
일 때, ①에서
모든 는 정수이므로
70. 주어진 식의 양변에 을 곱하면
근의 공식에서
∴
큰 근은 이므로 가장 가까운 정수는 이다. ③
71. 라 하면
이므로
에서 ∴
따라서 ②
72. 에서
∴ ①
73.
이므로
∴ 최대 정수 ②
74. 에 대하여 정리하면
이것이 에 대한 항등식이어야 하므로
①
②
①, ②를 연립하여 풀면 ∴
75. 주어진 방정식을 에 대한 이차방정식으로 보고 (를 상수로 보고), 실근 를 가질 조건 에서 의 값을 정한다. 이 값에 대한 실근 를 구한다.
주어진 방정식을 에 대하여 정리하면
①
이것은 에 대한 실수계수 이차방정식이로, 실근을 가지므로
그런데 는 실수이므로 ∴
이 때, ①은 ∴
따라서,
76. 의 한 허근을 라 하면
또한 두 허근 에 대하여 라 하면
∴
77. ①이 허근을 가질 조건은
∴ ③
②가 허근을 가질 조건은
∴ ④
①, ② 중 적어도 한족이 허근을 갖는 의 범위는 ③과 ④를 합한 범위이므로
78. 갑은 에서 이차항의 계수를 잘못 보고 풀었으므로
∴ ①
또, 을은 상수항을 잘못 보고 풀었으므로
∴ ②
①, ②를 에 대입하면
∴
79. 의 두 근을 라 할 때, 을 두 근으로 하는 이차방정식이 과 같으므로
∴
에서
∴
∴
80. 두 근의 곱 이므로 두 근의 부호는 다르다.
따라서, 한 근을 라 하면, 다른 근은
∴ ① ②
①, ②에서
81. 이 서로 다른 두 실근을 가지므로
①
에서
①에서 이고, 는 실수이므로 ∴
∴ 서로 다른 두 실근
82. 을 대입하면
가 유리수이므로
에서
,
∴ ④
83. 이차방정식 ㉠의 판별식을 라 하면
그런데 이므로
따라서 ㉠은 실근을 갖는다. ①
84. 즉, 이므로
는 좌표 평면 위에서 중심이 이고 반지름이 인 원 위의 점이므로 자취의 길이는 이다. ③
85. 근과 계수와의 관계에 의하여
또한, 구하는 이차방정식의 두 근을 이라 하면
따라서, 구하는 에 대한 이차방정식은
②
86. 이차방정식에서 근의 공식은 항상 적용된다. (참)
Ⅱ. 모든 이차방정식에서 근과 계수와의 관계는 항상 적용된다. (참)
Ⅲ. 중근을 가지면 판별식 이다. (참) ⑤
87. 두 근을 라 하면 이므로 두 근은 서로 다른 부호이다. 한 근을 , 다른 근을 라 하면
∴
∴
따라서, ③
88.
이므로
따라서, ③
89. ⑤
90. 을 주어진 이차방정식에 대입하면
가 유리수이므로
∴
∴
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이차방정식,   실수,   정수,   소수,   유리수,   무리수