[공통수학] Ⅴ. 함수

목차

단원Ⅴ. 함 수

제1장. 함 수
§1. 함 수
§2. 일대일 함수, 일대일 대응
§3. 합성함수와 역함수

제2장. 이차함수와 삼차함수
§1. 이차함수
§2. 포물선의 방정식
§3. 고차함수의 그래프

제3장. 이차함수와 판별식
§1. 이차함수의 그래프와 방정식‧부등식과의 관계
§2. 포물선과 직선의 위치 관계

제4장. 방정식의 이론
§1. 실근의 개수
§2. 이차방정식의 근의 분리

제5장. 유리함수와 무리함수
§1. 유리함수의 그래프
§2. 무리함수의 그래프

제6장. 최대‧ 최소
§1. 이차함수의 최대‧최소

본문내용

존재하고,
이면 제, 제사분면에 존재한다.
④ 가 클수록 곡선은 원점에서 멀어진다.
【ex. 1】는 제, 사분면에 , 는 제, 사분면에 그려지는 직각쌍곡선이다.
(2)
의 그래프
의 그래프를 축의 방향으로 만큼, 축
의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다. 따라서,
① 점에 관하여 대칭인 직각쌍곡선이다.
② 점근선은이다.
< 점근선을 빨리 구하는 요령 >
(ⅰ) 분모를 0으로 하는 의 값에서 (ⅱ) 분수를 무시한 식에서
【ex. 2】의 그래프는 의 그래프를 축의
방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다.
따라서, 점근선은 이다.
(3)
의 그래프
의 꼴로 변형하여 (2)의 방법에 따라 그래프를 그린다.
점근선의 방정식은 이다.
<점근선을 빨리 구하는 요령>
(ⅰ) 분모를 으로 하는의 값에서 (ⅱ) 분모, 분자의 의 계수로
【ex. 3】의 그래프를 그리고, 점근선의 방정식을 구하여라.
(풀이) 이므로
이것의 그래프는 의 그래프를 축의 방향으로
만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다.
따라서, 점근선의 방정식은 이다.
(위와 같이 변형하지 않고, 바로 점근선을 구하면
임을 알 수 있다.)
【ex. 4】의 그래프를 그리고, 점근선의 방정식을 구하여라.
(풀이) 에서
따라서, 의 그래프를 축의 방향으로 만큼,
축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다.
따라서, 점근선의 방정식은 이다.
(4)
의 그래프
와 의 두 그래프를 합성한 것이다.
【ex. 5】의 그래프를 그리고, 점근선의 방정식을 구하여라.
(풀이) , 로 놓으면
따라서 직선 와 곡선 을 각각 그린 다음
두 그래프의 좌표의 합을 좌표로 하는 곡선을 그리면
오른쪽과 같은 곡선이 얻어진다.
이와 같이 하는 것을 그래프를 합성한다고 한다.
따라서, 점근선의 방정식은 이다.
(점근선을 빨리 구하면 분모를 으로 하는 의 값에서 , 분수를 무시한 식에서 이다.)
한편, 에서
이 의 이차방정식에서 는 실수이므로
따라서, 이 함수의 치역은 이다.
【ex. 6】의 그래프를 그리고, 점근선의 방정식을 구하여라.
(풀이) 에서
로 놓으면
따라서 의 그래프를 그리고, 이 두 그래프를 합성하면
오른쪽 그림과 같다.
점근선의 방정식은
§2. 무리함수의 그래프
무리함수의 그래프(1)
(1)
의 그래프
①의 그래프는 포물선의 윗부분이다.
이면 제1사분면, 이면 제2사분면
②의 그래프는 포물선의 아래부분이다.
이면 제3사분면, 이면 제4사분면
[참고] ⇔ (포물선), ⇔ (포물선)
(2)
의 그래프
의 그래프는 의 그래프를
축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행
이동한 것이다.
【ex. 1】다음 함수의 그래프를 그리고, 정의역과 치역을 구하여라.
(1) (2)
(풀이) (1) ①
①의 그래프는 의 그래프를 축의 방향으로 만큼,
축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다.
정의역은 에서 이고, 치역은 에서 이다.
(2) ②
②의 그래프는 의 그래프를 축의 방향으로
만큼, 축의 방향으로 2 만큼 평행이동한 것이다.
정의역은 에서 이고, 치역은 에서 이다.
무리함수의 그래프(2)
또는
의 그래프
와 의 양변을 제곱하면
이므로 이 되어 원이 된다
(ⅰ) 이므로 이것의 그래프는
원 의 윗부분(반원)이고,
(ⅱ) 이므로 이것의 그래프는
원 의 아래부분(반원)이다.
【ex. 2】다음 각 식의 그래프를 그려라.
(1) (2)
(풀이) (1) 양변을 제곱하면
이므로 이것의 그래프는 원
의 윗쪽 반원이다.
(2) 에서
양변을 제곱하면
에서
따라서, 구하는 그래프는 중심이이고, 반지름이
인 원의 아래쪽 반원이다.
제6장. 최대 최소
§1. 이차함수의 최대최소
이차함수의 최대최소
이차함수 에서
① 이면 는 일 때 최소값 을 갖는다.
② 이면 는 일 때 최대값 을 갖는다.
【ex. 1】가 실수일 때, 의 최소값을 구하여라.
(풀이) 에 대한 이차함수로 보고, 완전제곱꼴로 변형한다.
는 실수이므로
따라서, 일 때 최소값 1을 갖는다.
제한 변역이 있을 때의 이차함수의 최대최소
이차함수 에서 범위의 제한이 있을 때에는 먼저
대칭축을 구한 다음, 그래프의 개형을 그려서(그래프를 정확하게 그릴 필요까지는 없다)
범위가 대칭축을 전후하여 어디부터 어디까지인지를 보고 최대, 최소를 가리고 최대값
과 최소값을 구한다.
【ex. 2】일 때, 의 최대값과 최소값을 구하여라.
(풀이) 에서 대칭축은
이므로 오른쪽 그림과 같은 개형에서
일 때 최소이고, 최소값은
일 때 최대이고, 최대값은
【ex. 3】가 실수이고 일 때, 의 최대값, 최소값을 구하여라.
(풀이) 에서 ①
이것을 에 대입하면
②
그런데 ①에서 는 실수이므로
이 범위에서 ②의 최대값은 (일 때), 최소값은(일 때)
<주의> 변역이 ①에 숨어있음을 주의한다.
판별식을 이용하는 최대최소
분수함수 꼴의 최대최소
① 양변에 를 곱하여 에 대한 정방정식으로 변형한다.
② 이 정방정식이 에 대한 이차방정식일 때에는을 써서 의 범위를 구한다.
【ex. 4】함수 의 최대, 최소값을 구하여라.
(풀이) 에서 양변에 을 곱하면
이것을 에 관하여 정리하면 ①
(ⅰ) 일 때, 곧 일 때 (실수)이므로 ②
(ⅱ) 일 때 ①식은 에 대한 이차방정식이고, 가 실수(실근)이므로
,
③
②와 ③으로부터 따라서, 최대값은 , 최소값은 이다.
산술평균과 기하평균을 이용한 최대최소
일 때, (산술평균)(기하평균) [ ]
(1) (등호는 일 때 성립)
(2) (등호는 일 때)
【ex. 5】(1) 이고, 일 때, 의 최대값을 구하여라.
(2) 이고, 일 때, 의 최소값을 구하여라.
(풀이) (1) 에서 이므로
따라서, 의 최대값은 이다.
(이 때의 의 값은 등호가 성립하는경우이므로 이다.)
(2) 에서 이므로
따라서, 의 최소값은 이다.
(이 때의 의 값은 등호가 성립하는경우이므로 이다.)
【ex. 6】일 때, 다음 물음에 답하여라.
(1) 의 최소값을 구하여라.
(2) 의 최소값을 구하여라.
(풀이) (1)
따라서, 구하는 최소값은 이다.
(2) 에서
따라서, 구하는 최소값은 이다.
【ex. 7】일 때, 의 최소값을 구하여라.
(풀이) 에서 의 최소값은 이다.

키워드

공통수학,   함수,   이차함수,   삼차함수,   방정식,   무리함수