[수학 독후감] 이야기 패러독스를 읽고

소개글

[수학 독후감] 이야기 패러독스를 읽고에 대한 보고서 자료입니다.

목차

1.‘이야기 패러독스’를 읽기 전

2. 줄거리

제1장 논리학의 패러독스

제2장 기하학의 패러독스

제3장 수의 패러독스

제4장 통계의 패러독스

제5장 확률의 패러독스

제6장시간의 패러독스

3.느낀 점

본문내용

쓰인 말은 참이 됩니다. 참이면 거짓이고 거짓이 면 참이다?
[3] ‘크레타’인 패러독스
B.C.6세기경 유클리드의 수제자였던 그리스 철학자 유불리데스는 “모든 크레타인은 거짓말쟁이다”라는 패러독스를 고안해냈습니다. 만약 이 말이 사실이라면 크레타인 이었던 그는 거짓말을 하는 것이 되고, 거짓이라면 그는 진실을 말하고 있는 것이 되겠죠.
[4] 사냥의 패러독스
왕자의 사냥구역에서 밀렵을 하면 사형되는 나라가 있었습니다. 어느 날 왕자는 “누구든 밀렵을 하는 자는 사형에 처해지나 교수형이나 참수형을 선택할 권리를 준다. 죄인에게는 죽기 전 한 번의 발언권을 주겠는데 그것이 거짓이면 교수형에 처하고 만약 사실이라면 참수한다”는 새로운 법을 공포했습니다. 이에 익살스런 논리학자가 이 모호한 선택권을 시험해보려고 밀렵을 하다 잡혔는데 발언권이 주어지자 그는 “나는 교수형에 처해질 것이오”라고 말했답니다. 그리고 사형수가 당도하자 “만일 당신이 지금 교수형을 행하면 왕자의 법을 어기는 것이오. 내 말이 사실이면 법률상 참수돼야 하니까. 또 참수형을 행한다면 내 말이 거짓이 돼 교수형에 처해져야 마땅하지. 그럼 그것 또한 법을 어기는 것이 되지 않겠소?”라며 사형을 모면했다고 합니다.
속고 있는 기분이 드는 건 왜일까? 논리학상 어떤 X인자가 숨어있긴 있다는 걸까요? 논리학자들이 내린 결론은 언어의 사용에 그 키가 숨겨져 있다는 것입니다. 문장의 전후관계에 지배받는 ‘논리’들이 서로 독립된 것이라고 느껴지는 일종의 ‘착시’를 겪는 것? 이런 언어사용에서 오는 오류를 문맥에 맞게 바라보는 ‘눈’이 논리학에서의 ‘X인자’인 셈입니다.
6. 몬티-홀 딜레마
몬티는 자신의 재력으로 친구들에게 선의의 장난을 하는 것을 즐기는 마음씨 좋은 백만장자입니다. 하루는 마릴린이란 가난한 친구에게 내기를 제안했습니다. “이번 크리스마스 선물로 네게 선물을 하고 싶은데 그냥 주면 재미가 없잖아? 이런 게임을 하자고. 저 건물에 세 개의 문이 있지? 그중 한 문 뒤에는 멋진 고급승용차가 있고 나머지 문들 뒤에는 자전거가 있다고. 자네가 선택한 문 뒤에 있는 선물을 주도록 하지.” 마릴린이 그중 하나를 고르자 몬티가 새로운 제안을 해왔습니다. “그걸 골랐나? 내 당신에게 한 번의 기회를 더주지. 내가 남은 두 개의 문들 중 자전거가 있는 문을 열지. 그러고 나서 원래의 선택을 고수하든지 아니면 나머지 하나로 선택을 바꿔도 되네.” 마릴린은 원래 선택한 문과 남은 문 하나중 선택할 권리가 있는 것입니다. 과연 그렇다면 자동차를 받기위해선 원래대로 고집하는 게 나을까요, 아니면 선택을 바꾸는 편이 나을까요. 과연 몬티는 더 나은 기회를 준 것인가요?
당신이 이런 상황이라면 어떤 선택을 할까요? 수학적으로 풀어봅시다.
①당연히 남은 문은 두개뿐이니 바꾸거나 바꾸지 않거나 50:50의 확률로 같은 확률이니까 아무렇게나 정한다.
② 선택을 바꾸는 게 탈 확률이 더 높다.
③선택을 바꾸지 않는 편이 더 높다.
답은 ②번입니다. 확률론적으로 원래 선택한 문이 아닌 남은 문을 선택할 경우 자동차를 탈 확률이 더 높습니다. 같이 한 번 풀어봅시다.
A, B, C 세 개의 문중 마릴린이 A를 선택했다고 가정합시다. 그럼 A나 B, 또는 C문 뒤에 자동차가 있을 수 있는데 각각의 경우 몬티가 B를 열 확률은
이때 우리가 구하고 싶은 확률은 몬티가 B를 열었다고 가정하고 A를 그대로 취할 때 자동차를 선택할 확률 P(A|monB)와 C로 바꿨을 경우 자동차를 받게 될 확률 P(C|monB)입니다. 그런데 조건부확률의 정의에 의해서
결과적으로 처음 선택한 문보다는 몬티가 제외시키고 난 나머지 문을 선택하는 게 더 유리하다. 만약 아무런 변화 없이 세 개의 문중 하나만을 선택한다면 자동차를 탈 확률은 ⅓이지만 몬티가 한 번의 기회를 더 주면 선택을 바꿔 그 확률을⅔로 2배가 되게 할 수 있는 것이다. 몬티-홀 문제는 4개의 문으로 확장시킬 수도 있다. 4개의 문 중 한 개의 문 뒤에 금괴가 있고 나머지 문 뒤에는 아무것도 없다고 하자. 이때 같은 방법으로 하나의 문을 선택하고 나머지 문들 중 아무것도 없는 문을 열어준다. 그러면 닫힌 문 세 개 중 하나를 선택하게 하고 다음은 세 개의 경우처럼 하면 된다. 결과는 마찬가지로 선택을 계속 바꾸는 것이 더 유리하다. 일반적으로 n개의 문의 몬티-홀 문제를 풀 때, 각 단계의 선택을 바꿔서 금괴를 얻어낼 확률은 보다 크다고 한다.
3.느낀 점
책을 읽기 시작하면서의 느낌을 한 마디로 함축하자면 흥미로웠습니다. 책을 읽는 내내 패러독스를 이용하면 많은 것들을 할 수 있음을 느꼈습니다. 지금까지 지루하고 어려운 과목의 대명사로 알려진 수학에 흥미를 불어 넣는 일과, 자연스럽게 수학을 접할 수 있도록 관심을 유발시키는 것이 그 주목할 만한 역할이 아닌가 생각해 봅니다. 또 많은 사회적 이슈들과 수학의 접목과 방송이나 신문 광고 등에서 범하고 있는 통계나 평균의 오류를 찾아 낼 수 있습니다. 단순히 수학적 흥미를 이끌어 내는 것 말고도 이를 통해서 잘 못된 사실들을 꼬집어 낼 수 있다는 것입니다. 전 이 책을 읽으면서 가장 흥미로웠던 부분이 제4장 ‘통계의 패러독스’ 부분이었는데 실제로 제가 그 동안 범하고 있던 통계적 오류를 정확하게 짚어 주어서 그렇지 않나 생각해 봅니다. 예를 들어 우리는 방송이나 기타 많은 매체들을 통하여 통계적 자료를 접하게 됩니다. 책에서 말하고 있는 보통 속도로 달리는 자동차들이 시속 150km의 속도로 달리는 자동차보다 많은 사고를 낸다는 사실적 통계를 접하게 됩니다. 분명히 통계적으로는 사실이지만 결론을 내림에 있어 대부분의 사람들이 그럼 150km로 달리는 것이 안전하다고 생각합니다. 하지만 그러한 결론이 보통 속도로 달리는 자동차가 더 많다는 숨은 진실을 외면한 결론임을 사람들은 잊고 있습니다. 대부분의 사람들이 보통 속도로 운전하기 때문에 보통 속도에서 사고가 날 확률이 높은 것은 당연한 사실인데도 말입니다. 간단한 사실이지만 이러한 사실을 접할 때마다 그 동안 얼마나 많은 오류를 범하며 살아 왔는가를 생각하게 되었습니다.

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