미분기하학 요점 정리

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본문내용

곡률 의 최댓값 과 최솟값 를 주곡률이라 한다.
그리고 최댓값과 최솟값을 가지는 접벡터의 방향을 주방향이라고 한다.
가 방정식 의 해이면 는 주곡률이다. 역도 성립.
이라 하자. 행렬 의 고유값이 주곡률이고 고유벡터가 주방향이다.
단 이고 이다.
점 에서의 주곡률 에 대하여 를 가우스 곡률 를 평균곡률이라 한다.
또한 일 때 가우스곡률 이고 평균곡률 이다.
곡면위의 한 점에서 이면 타원점 이면 쌍곡점
이고 이면 포물점 이고 이면 평탄점이다.
(오일러 공식) 과 를 점 에서 주곡률 과 를 주곡률에 대응하는 주벡터라 하자.
임의의 단위벡터 방향의 에서의 의 법곡률은 이다.
곡면위의 한 점 에서 임의의 직교하는 두 방향에 대한 법곡률의 평균값은 주어진 점에서의 평균곡률과 같다.
오일러 공식에서 정의한 법곡률 에 대하여
한 점 에서의 평균곡률 는 이다.
가 곡면 위에 놓인 정칙곡선이면 방향으로의 법곡률은 이다.
곡면 에 접하는 방향으로 법곡률이 0 인 방향을 점근방향이라고 한다.
곡면 위의 정칙곡선 가 점근선이 될 필요충분조건은 이다.
곡면 위의 곡선 의 가속도벡터 가 항상 에 직교하면 를 곡면 의 측지선이라 한다.
곡면 위에 놓인 단위속력곡선 가 측지선이 될 필요충분조건은 이다.
를 곡면 의 가우스곡률이라 할 때 를 위에서의 의 전곡률이라고 한다.
유향곡면 위의 정칙곡선 에 대하여 를 의 전측지곡률이라 한다.
가 에 놓인 일대일이고 정칙인 2차원 단편일 때
이다. 여기서 는 외각이고 는 내각이다.
compact 유향곡면 의 가우스곡률 와 의 오일러표수 에 대하여 이다.

키워드

미분기하학,   요점,   정리,   수학,   단위속력곡선,   이차곡면