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기하학적 관점
- 인간의 사유를 합리적으로 표현하는 도구
Newton : 변화하는 양을 소재로 하는 유율법에 의해 미분을 생각해냄
유량(fluent) : 변화하는 양(量),
유율(fluxion) : 유량의 변화 비율,
주유율(principal fluxion) : 유량의 일정한 시간 동안의
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I. 곡선론
1. 단위속력곡선 (즉 )에 대하여
① 단위접벡터장
② 곡률벡터장
③ 곡률 (항상 0보다 크거나 같다!)
④ 곡률반경
⑤ 단위법벡터 , 즉
⑥ 단위종법선벡터
⑦ 열률(비틀림률) , 즉
⑧ Frenet 장치(틀) 에 대하여 다음 관계식이 성립
2.
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기하학의 범주
① 유클리드 기하학 - 합동 변환군
② 닮음 기하학 - 닮음 변환군
③ 등적 기하학 - 등적 변환군
④ 아핀 기하학 - 아핀 변환군
⑤ 비유클리드 기하학 - (쌍곡기하) 뫼비우스 변환군
⑥ 사영 기하학 - 사영 변환군
미분 기하학
(1)
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법곡률 의 최댓값 과 최솟값 를 주곡률이라 한다.
그리고 최댓값과 최솟값을 가지는 접벡터의 방향을 주방향이라고 한다.
가 방정식 의 해이면 는 주곡률이다. 역도 성립.
이라 하자. 행렬 의 고유값이 주곡률이고 고유벡터가 주방향이다.
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력
곡선으로 환원하는 계산을 하기도 하지만, 여기서는 간단한 공식만
언급하겠다.
(가) Frenet 공식
(나) 단위속력곡선과 차이
(다) 계산에서 가장 유용한 공식
(3) 곡선의 곡률과 비틀림률
다시 한번 언급하지만 단위 속력 곡선과 임의의 속력
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미분 방정식 및 최적화 기법을 적용합니다.
- 컴퓨터 시뮬레이션: 수학적 모델을 검증하기 위해 Python, MATLAB 등의 프로그래밍 도구를 활용하여 실험을 수행합니다.
4) 기대 효과 및 향후 연구 방향
본 연구를 통해 미분기하학과 조합론의 접점에
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