기하학의역사

목차

1. 그리스 기하학 - 유클리드를 중심으로 논증기하학 발달

2. 해석기하학 - 좌표를 도입함으로써 대수와 기하를 결합

3. 사영기하학 - 모든 기하학의 기하학

4. 비유클리드 기하학 - 기하학의 혁명

5. 고전기하학의 분류 - 군(Group)개념과 기하학의 결합

6. 미분기하학 - 휜 공간 개념의 도입

7. 기하학의 추상화

본문내용

직선이 평행이다.
참고 : ②와 ①은 동치가 아니다. 평행선의 공준이 필요하다.
③ Proclus의 평행선 공준
평행한 두 직선 과 에 대해 직선 이 과 만나면 은 과도 만난다.
④ Hilbert(Playpair)의 평행선 공준
⑤ Wallis의 평행선 공준
삼각형 와 선분가 주어졌을 때, 삼각형 와 닮은 삼각형 이 존재한다.
(참고 : ③,④,⑤ 유클리드의 평행선 공준은 모두 동치이다.)
(3) 비유클리드 기하학의 선구자
① 사케리
유클리드의 평행선의 공리를 증명하려 했으나 실패(비유클리드 기하학 탄생의 한 계기)
사케리(1667-1733)의 사변형
→ 각, 각는 직각이고, 와 의 길이가 같은 사변형 의 각와
각의 크기는 같다. (대각선 이용)
세 가지 가능성
→ 둔각 가설 : 직선의 무한성을 이용 제외
→ 직각 가설 : 평행선 공준과 동치
→ 예각 가설 : 예각 가설의 모순점을 보이려 했으나 모순을 찾지 못함.
예각 가설이 쌍곡 기하학의 평행선 공리와 동치이다.
② 람베르트(18C)
유클리드의 평행선 공준 고찰(비유클리드 기하학의 발견의 선구자)
③ 가우스(19C)
비유클리드 기하학의 존재성 인식(칸트의 공간관 때문에 발표하지 않음)
(4) 비유클리드 기하학의 성립
① 쌍곡기하학
로바체프스키와 볼요이가 독립적으로 발견
평행선 공리 → “주어진 직선 위에 있지 않은 한 점을 지나서 주어진 직선에
평행한 직선은 적어도 2개 존재한다.”
기하학적 모델 → 벨트라미의 의구, 클라인의 원판, 뽀앙카레의 원판, 반평면
② 타원기하학
리만이 직선의 정의를 수정하여 발견
평행선 공리 → “주어진 직선 위에 있지 않은 한 점을 지나서 주어진 직선에
평행한 직선은 존재하지 않는다.”
기하학적 모델은 리만의 구면
리만은 리만면-다양체의 개념 최초 도입
클라인의 에를랑겐 프로그램(고전 기하학의 분류)
(1) 클라인(Klein)의 에를랑겐 프로그램:그 당시 알려진 모든 기하학의 통일을 시도 (공간의 변환군에 의해 불변인 성질 연구)
사영기하학 - 비유클리드 기하학
↓
아핀기하학
↓
닮음기하학 - 등적기하학 → 유클리드 기하학
(2) 기하학의 정의
어떤 특정 변환군 아래서 불변인 도형의 성질을 연구하는 학문을 기하학이라 한다.
이러한 정의에 따라 당시 알려진 모든 기하학을 변환군의 관점에서 통일을 시도
(3) 클라인의 기하학의 범주
① 유클리드 기하학 - 합동 변환군
② 닮음 기하학 - 닮음 변환군
③ 등적 기하학 - 등적 변환군
④ 아핀 기하학 - 아핀 변환군
⑤ 비유클리드 기하학 - (쌍곡기하) 뫼비우스 변환군
⑥ 사영 기하학 - 사영 변환군
미분 기하학
(1) 미분 기하학의 출현(18C)
① 클레로
미분기하학의 선구적 업적, 미분방정식의 특이해 연구, 클레로의 미분방정식
② 몽주
미분기하학의 아버지(3차원 공간에 있는 곡면의 측지선 개념 소개), 화법기하학의 창시
③ 가우스
일반곡면론 - 공간에서의 곡면에 관한 기하학의 연구(미분기하학의 기초 확립)
(2) 다양체 개념의 도입
리만(Riemann)은 차원 다양체 개념을 도입하여 리만 기하학이란 분야를 개척하였다.
이러한 기하학은 Klein의 분류와는 맞지 않는 기하학으로 미분기하학의 연장선상에 서 있다.
기본 개념 : 다양체, 거리, 미분구조, 접속, 곡률, 측지선 등
※ 기하학의 추상화(공리론의 탄생)
힐베르트의 기하학 기초론
유클리드의 ‘원론’이 제시한 공리계의 논리적 결함을 해결할 수 있는 새로운 공리계를 기술.
무정의 용어 : 점, 직선, 평면, 위에 있다. 사이, 합동
무정의 용어 사이의 관계를 규정하는 21개의 공리
공리계가 무모순임을 증명. 공리군 사이의 독립성을 증명

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