푸리에 (Fourier)

목차

❖ Fourier 급수 – 정의, 증명, 예시

❖ Fourier 변환 – 정의, 증명, 예시

❖ Fourier 적분 – 정의, 증명, 예시

❖ Fourier급수와 변환 사이의 관계 및 차이점

❖ Fourier급수와 적분 사이의 관계 및 차이점

본문내용

Fourier 급수
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푸리에 급수는 주기함수를 기본적인 조화함수(harmonics)인 Cis 함수들의 급수로 나타낸 것이다. 특히, f(x)가 실수에서 복소수로의 함수로 주기가 2π일 때, 또 모든 유한 구간(finite interval)에서 제곱적분 가능일 때, gn(n은 모든 정수를 취한다)는

　≪ 글 - 그림 파일 ≫ 이고,

급수　≪ 글 - 그림 파일 ≫　는 함수가 0인 집합이 아닌 임의의 구간에서 f(x)로 수렴한다.
주파수 영역에서는 비 주기와 주기 주파수 모두에 푸리에 급수를 사용하여 분해가 가능하기 때문에 기본적으로 사용하는 수학식이기도 하다.




Fourier 급수 증명
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삼각급수에서 주기가 2π 일때　≪ 글 - 그림 파일 ≫
오일러 공식에 의해
(a) 상수항
　삼각급수 의 양변을 – π에서 + π까지 적분하면　≪ 글 - 그림 파일 ≫
　만약 이 급수가 균등급수로 각 항 별 적분이 가능 하다면

　　　　　　≪ 글 - 그림 파일 ≫


(b) 상수항

　　　　　　≪ 글 - 그림 파일 ≫

(c) 상수항

　　　　　　≪ 글 - 그림 파일 ≫




≪ … 중 략 … ≫




Fourier 변환
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❖ 푸리에 변환(Fourier transform)은 한 함수를 인자로 받아 다른 함수로 변환하는 선형 변환이다. 일반적으로 변환된 함수는 원래 함수를 주파수 영역으로 표현한 것이라고 부른다.

❖ 함수 F(t)가 복소수 범위에서 정의되어 있고 르베그 적분이 가능할 때, 이 함수의 푸리에 변환 F(w)는 다음과 같이 정의된다.

　≪ 글 - 그림 파일 ≫

　여기서 일반적으로 독립변수 t는 시간을 나타내고, 변환변수 f는 주파수를 나타낸다 .f(t) 대신 , 와 같은 표기를 사용하기도 한다.
　푸리에 역변환은 다음과 같다.

　≪ 글 - 그림 파일 ≫

키워드

푸리에,   Fourier,   Fourier 변환,   Fourier급수,   Fourier 적분