인하대 수시논술 자료

목차

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본문내용

과 직선으로 과 를 잡고 구체적인 영역을 제시하였다.
3. 문항 해설
문항은 모두 두 가지 유형의 5개 문제로 되어 있다. 문항 2, 3, 4, 5는 제시문 (나), (다)에서 개략적이고 단계적으로 설명한 아르키메데스 방법을 구체적인 계산을 통하여 확인을 하는 문제이고, 문항 1, 5는 포물선 과 직선 로 둘러싸인 영역의 넓이를 정적분을 이용한 계산과 (정적분을 이용하지 않고) 제시문 (나), (다)에서 설명한 방법에 따른 계산을 수행하고 두 결과가 같음을 확인하도록 되어 있다.
(1) 문항 1 : 제시문 (라)에서 주어진, 과 로 둘러싸인 영역의 넓이를 정적분을 사용하여 구하는 문제이다. 비교적 간단한 적분 문제로 5개의 문항 중에서 가장 쉬운 문제이다.
(2) 문항 2 : 포물선과 직선이 만날 경우에, 접선이 직선에 평행하게 되는 포물선 위의 점의 -좌표는 포물선과 직선의 두 교점의 -좌표의 평균값과 같음을 보이는 문제이다. 이 문제는 미분을 이용하면 비교적 간단하게 해결될 수 있으며, 본질적으로 미분을 이용하지 않더라도 조금 더 복잡한 계산을 통하면 해결될 수 있다.
(3) 문항 3 : 포물선과 직선이 만날 경우에 만나는 두 교점과 주어진 직선에 평행한 접점을 갖는 포물선 위의 점으로 이루어진 삼각형의 넓이를 구하는 문제이다. 이 문제는 사다리꼴의 넓이를 구하는 공식과 인수분해를 포함한 약간의 계산을 통해서 해결될 수 있다.
(4) 문항 4 : 문항 3에서 얻은 결과를 이용하여, 제시문 (나), (다)의 두 번째 단계에서 만들어진 두 삼각형의 넓이의 합을 구하고, 첫 번째 단계에서 얻은 삼각형의 넓이와 두 번째 단계에서 얻은 두 삼각형의 넓이의 합의 비율을 구하는 문제이다. 이 문항에서는 새로운 계산을 수행하지는 않는다. 이 문항에서는 논제 3에서 얻은 계산 결과의 의미를 올바르게 이해하고, 이것을 다른 상황에 적용할 수 있는 능력을 주로 평가한다.
(5) 문항 5 : 문항 3, 4의 결과를 이용하여 아르키메데스가 사용한 방법을 구체적으로 설명하는 문제이다. 즉, 제시문 (나), (다)에서 설명한 방법을 충분히 숙지하고, 문항 3, 4의 결과를 이용하여 포물선과 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 적절한 형태의 무한등비급수로 바꿔서 계산할 수 있는가를 평가하는 문제이다. 또한, 이 결과를 이용하여 영역이 논제 1에서 주어진 과 로 둘러싸인 부분일 경우에 계산 결과가 논제 1에서 현대의 정적분을 이용하여 계산한 결과와 같은가를 확인한다. 특히, 이 문제에서는 제시문 (나), (다)에서 설명한 방법을 올바르게 이해했는가와 문항 3, 4에서 자신이 얻은 결과의 의미를 적절하게 파악하고 있는가를 주로 평가한다. 그리고 자신의 생각을 수식을 포함한 일반 서술문으로 올바르게 표현할 수 있는가도 중요한 평가척도가 된다.
4. 평가 기준
2008학년도 인하대학교 수시 2-1 자연계 논술고사에서는 다음의 사항들을 중점적으로 평가한다.
주어진 제시문을 정확하게 이해하고, 이를 바탕으로 각 문항에서 요구하는 문제를 파악하는 능력
미분, 적분, 수열, 포물선 등 고교 교과서에서 배우는 수학의 기본 개념을 이해하고 활용하는 능력
각 문항간의 연관성 및 흐름을 파악하고, 필요한 경우에 앞 문항의 결과를 적절하게 활용할 수 있는 능력
수식이 들어있는 계산 과정이나 증명 과정을 일반 서술문과 함께 올바르게 그리고 논리적으로 기술할 수 있는 능력
자신의 견해를 문장으로 올바르게 전개할 수 있는 능력
5. 모범 답안
[문항 1]
포물선 과 직선 의 교점의 좌표를 구하면
이다. 그리고 구간 [-1, 2]에서 이므로, 포물선 과 직선 으로 둘러싸인 영역의 넓이를 정적분을 이용하여 구하면
이 된다.
[문항 2]
포물선 위의 임의의 두 점 A 과 B 을 잇는 직선의 기울기 은
이다. 포물선 위에서 접선의 기울기가 직선 의 기울기와 같게 되는 접점의 좌표를 라 고 하면, 로부터 포물선 위의 점 에서 접선의 기울기 는 이다. 이어야 하므로 가 성립한다. 따라서 이고, 점 의 좌표 는 , 의 평균값이다.
이 때, 포물선 위의 점 에서 접선은 기울기가 이고, 을 지나는 직선이므로 이 직선의 방정식은
이고, 이를 간단히 정리하면
이 된다.
[문항 3] 다음 두 가지의 답안을 생각할 수 있다.
(답안 1) : 포물선 위의 세 점 , , 에서 축에 내린 수선의 발을 각각 , , 라 하면, 삼각형 의 넓이는 사다리꼴 의 넓이에서 사다리꼴 와 의 넓이를 뺀 것과 같다. 따라서, 각각의 사다리꼴의 넓이를 구하면 다음과 같다.



따라서, 삼각형 의 넓이는
이 된다.
(답안 2): 포물선 위의 세 점 , , 에서 축에 내린 수선의 발을 각각 , , 이라고 하면, 삼각형 의 넓이는 사다리꼴 의 넓이에서 사다리꼴 와 의 넓이를 뺀 것과 같다. 따라서, 각각의 사다리꼴의 넓이를 구하면



이므로, 삼각형 의 넓이는
가 된다. 이 때, 이므로,
이 된다.
[문항 4]
[문항 3]으로부터, 포물선과 직선이 만나는 두 점 , , 그리고 인 포물선 위의 점 을 꼭지점으로 하는 삼각형 의 넓이는 으로 표현된다. 여기에서 와 는 직선과 포물선이 만나는 점의 좌표이다. 이 결과를 이용하여 삼각형 와 의 넓이를 구한다.
우선 삼각형 의 면적을 구하려면 의 식에서 대신에 다른 교점인 의 좌표인 를 대입하면 된다. 따라서 삼각형 의 넓이는
이 된다.
마찬가지로 삼각형 의 넓이는 에서 대신에 를 대입하면 구할 수 있다. 이를 계산하면,
이 된다. 따라서 두 삼각형의 넓이의 합은 이 된다. 즉,
이므로, 두 삼각형 와 의 넓이의 합은 삼각형 넓이의 배이다.
[문항 5]
[문항 4]의 결과로부터 이고 임을 보였다. 같은 방법으로 삼각형 와 삼각형 , 를 생각해 보면
이 성립한다. 또한 삼각형 와 삼각형 , 를 생각해 보면
이 성립한다. 따라서
이 성립한다. 또, 다음 단계에서 만들어지는 8개의 삼각형의 넓이의 합은 의 이므로 이 된다. 이 작업을 되풀이 하면 공비가 인 무한등비급수를 얻게 된다. 따라서 직선과 포물선 사이의 넓이는
이 된다. 제시문 (라)에서 주어진 빗금 친 부분은 이고 인 경우이므로 넓이는 가 된다.

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