[물리학] 에르빈 슈뢰딩거(Erwin Schrodinger/Schrödinger)방정식에 관해서 (슈뢰딩거 생애, 파동함수, 슈뢰딩거 방정식과 적용, 양작 역학 원리)

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[물리학] 에르빈 슈뢰딩거(Erwin Schrodinger/Schrödinger)방정식에 관해서 (슈뢰딩거 생애, 파동함수, 슈뢰딩거 방정식과 적용, 양작 역학 원리)에 대한 보고서 자료입니다.

목차

1. Erwin Schrödinger는 누구인가

2. 파 동 함 수

3. Schrödinger 방정식

4. 3차원으로 일반화한 Schrödinger 방정식

5. 회전운동 입자의 원운동

6. 수소 원자에 대한 Schrödinger 방정식의 적용

7. 파동함수에 관한 Born의 해석
　1) 정 규 화
　2) 양 자 화

8. 양자 역학 원리
　1) 파동함수에 내재된 정보
　　① 확률 밀도
　　② 고유치와 고유함수
　　③ 연 산 자
　　④ 중첩과 기대치

9. 종 합 정 리

10. 참 고 문 헌

본문내용

여러번 반복해서 측정할 때 어떤 방향으로든 의 크기를 나타내는 것이라고 해석할 수 있다. 그러나 이 중첩 속에는 두 성분 파동함수가 동등하게 나타나기 때문에 측정 횟수의 반은 알맹이기 오른쪽으로 향하고( ) 나머지 반은 왼쪽으로 향하는( ) 결과를 나타낼 것이다. 양자 역학적으로 말하자면 알맹이가 어느 방향으로 이동할 것이라고 말할 수가 없으며, 다만 여러 번 관찰할 경우 알맹이가 오른쪽으로 향할 확률과 왼쪽으로 향할 확률이 같아진다고 밖에는 말할 수 없는 것이다.
한 연사자의 고유함수들은 선형결합시켜 만든 파동함수는 어느 것이나 이와 같은 방법으로 해석해야 한다. 예로서 파동함수가 다음과 같이 여러 상이한 선형 운동량 고유함수들의 중첩이라고 하자.
여기서는 수치 계수이고,는 상이한 운동량 상태에 대응하는 고유함수들이다. 이때는 양자 역학적으로 다음과 같이 말할 수 있다.
1. 운동량을 단 한번만 측정하면 이 중첩에 기여하는 어느 한의 고유치가 나온다.
2. 일련의 측정을 통해서 어느 한 특정한 고유치가 나타날 확률은 선형 결합 속의 해당 계 수의 제곱 ()에 비례한다.
3. 많은 횟수의 측정을 했을 때의 평균치는 관심 대상 가관측량의 연산자 Ω의 기대치 <Ω>와 같게 된다.
연산자 Ω의 기대치는 다음과 같이 정의한다.
이 식은 정규화 파동함수를 썼을 때에만 성립한다. 아래 증명에서 보이겠지만 한 성질의 기대치는 대단히 여러 번 측정한 결과의 가중 평균이다.

증 명

연산자 Ω의 고유함수 ψ가 고유치 ω를 가질 때의 Ω의 기대치는 다음과 같다.
=
이 결과는 ω가 상수이기 때문에 적분 기호 밖으로 내보낼 수 있고, 이렇게 했을 때의 적분은 파동함수가 정규화되어 있기 때문에 1로 놓고 얻은 것이다. 이 식에 의하면 성질 Ω를 측정하면 그때마다 ω가 나오며(파동함수가 이 가관측량의 고유함수이기 때문에), 따라서 여러번 관측했을 때의 평균치도 ω가 되는 것이다.
관심 대상 연산자의 고유함수가 아니 파동함수는 고유함수들의 선형 결합으로 나타낼 수 있다. 간단한 예로서 파동함수가 두 고유함수의 합이라고 생각하며 보자.
(일반적인 식의 경우도 마찬가지이다). 그러면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.
<Ω> = Ω
=
=+
+
개개의 파동함수가 정규화되어 있기 때문에 우변의 처음 두 적분은 모두 1이 된다. 나머지 두 적분을 구하려면 ‘직교성’이라고 하는 파동함수의 성질을 이용해야 한다. 두 함수가 직교할 때는 다음과 같은 관계가 만족되어야 한다.
양자 역학의 한 보편적인 규칙에 의하면 한 연산자의 상이한 고유치에 대응하는 고유함수들은 서로 직교한다. 예로서이 한 에너지에 대응하고가 다른 한 에너지에 대응할 때는 이 두 함수가 직교하며 이들의 곱을 적분하면 0이 된다. 이 증명에서 인용한과는 상이한 고유치에 대응하는 함수들이므로 이들은 서로 직교하며, 따라서 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.
<Ω> =
이 식에 의하면 두 고유치를 이들이 일련의 실험에서 나타날 확률만큼씩 가중해서 합한 것이 곧 기대치가 된다. 그리하여 기대치는 일련의 측정 결과에 대한 가증 평균과 같다.
9. 종 합 정 리
두 장벽 사이에 갇혀 있는 입자를 파동함수로 나타낼 수 있다. 양쪽의 벽에서 파동함수 가 0이어야한다는 요구조건이 입자의 가능한 에너지 준위를 결정해 준다.
Schrodinger 방정식은 계에서 물리적으로 가능한 파동함수로 결정한다. 또한 특정한 계 에 대한 Schrodinger 방정식의 풀이는 그 계의 가능한 에너지 준위들을 결정한다.
조화진동자에 대한 Schrodinger 방정식의 풀이는 동일한 간격을 갖는 에너지 준위를 준다.
Schrodinger 방정식을 3차원으로 일반화할 수 있다. 그러면 파동함수와 퍼텐셜에너지 함 수는 3개의 공간 좌표들의 함수가 된다. 그러면 파동함수와 퍼텐셜에너지 함수는 3개의 공간 좌표들의 함수가 된다. 수소 원자에 대한 풀이들은 보다 더 복잡한 원자들을 분석 하는데 기초가 된다.
Schrodinger 방정식은 수소 원자에 대하여 정확하게 풀 수 있다. 파동함수들은 세 개의 양자수에 의하여 결정된다. 에너지 준위들은 Bohr모형에서의 준위들과 동일하며, 각운동 량은 양자화된다.
10. 참 고 문 헌
▶ 김용은(1997), 대학 물리학, 서울, 대웅
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▶ Halliday, Resnick, Walker(1997), 일반물리학, 서울, 범한서적
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▶ http://preview.britannica.co.kr/spotlights/nobel/list/B12s4296a.html
▶ http://165.132.30.11/~phylab/data/portrait/schrodinger.htm

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