2011학년도1학기주별과제모범답안(1주-7)[1]

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목차

*. 2011학년도 1학기 주별 과제 모범답안(1주-7주)
*. 과목: 미분적분학(1)
-1주
-2주
-3주
-4주
-5주
-6주
-7주 풀이

본문내용

*. 2011학년도 1학기 주별 과제 모범답안(1주-7주)
*. 과목: 미분적분학(1)
1주:
1. 함수 일때,
합성함수 의 정의역을 구하여라.
(풀이)
2. 함수 를 모든 에 대하여
로 정의 하였다. 다음 물음에 답하여라.
(1) 는 단사함수가 아님을 보여라.
(2) 는 전사함수가 아님을 보여라.
(3) 의 정의역을 치역(공역)을 로 제한한
함수의 역함수를 구하여라.
(풀이) (1) 단사함수가 될 수 없는 예를 든다.
예)
(2) 전사함수가 아닌 예를 든다.
임의의 에 대해서 이 되어 를
만족하는 가 존재하지 않는다.
(3) 의 역함수 : 중에서 정의역
치역(공역)을 로 갖는 것은 이다.
3. 의 역함수를 구하고 역함수 의 정의역을 구하여라.
(풀이) 에서
정의역 :
4. 집합 의 상한과 하한이 존재하면
이를 구하여라.
(풀이) 상한(sup) : 하한(inf) :
2주:
1. 일 때 수열 의
극한값이 존재하면 구하여라.
(풀이) 부분분수 분해하면 로부터
2. 을 구하여라.
(풀이)
3. 로 정의된 수열 이
수렴함을 보이고 그 극한값을 구하여라.
(풀이) 귀납적으로
임을 알 수 있고 이므로 수열
은 증가수열이다. 은 수렴한다. 라고 하면
가 되어 이다.
이다. 그런데, 이므로
임을 알 수 있다.
4. 임을 보여라.
(풀이) 라 두면 이다. 따라서
감소수열이다. 이므로
아래로 유계.
따라서 . 또는, 감소수열이고
이므로 .
5. 가 에서
연속이 되는 와 값을 구하여라.
(풀이) 이므로 .
가 에서 연속이므로
따라서 .
답: ,
6. 가 에서 연속이고, 에서 이면,
를 만족하는 에서 존재함을 보여라.
(풀이) 라 두면
는 에서 연속,
, .
중간값 정리에 의해 인 에서 존재.
즉, 인 존재.
3주:
1. 극좌표 와 에 대응하는 점 사이의
거리 d 를 구하여라.
(풀이) 주어진 극좌표를 직교좌표로 표현해 보면
이고 이다.
다음과 같이 두 방법으로 구해보자.
① 코사인 법칙 이용
. d=.
② 두 점사이의 거리를 구하는 공식 이용
d=
2. 극방정식 을 직교방정식으로 고치시오.
(풀이)
.
3. 직교좌표 방정식 를 극방정식으로 고치시오.
(풀이)
4. 극방정식 의 그래프를 평면에 그려라.
4주:
1. 일 때 을 구하여라.
(풀이)
2. 일 때, 의 값을 구하여라.
(풀이)
3. 일 때,
(1) 가 에서 연속인지를 보여라.
(2) 가 에서 미분가능한지를 보여라.
(3) 를 구하여라.
(풀이) (1) 이므로
따라서 이므로 는 에서 연속이다.
(2)
이므로 는 에서 미분가능하지 않다.
(3) 에서
4. 의 (3,1) 에서의 접선의 방정식을 구하여라.
(풀이) . 따라서 접선의 방정식은 .
5. 일 때, 가 에서 미분가능 하도록
값을 정하고, 그 경우 의 값을 구하시오.
(풀이) 는 0 연속 이므로
by
,
by
5주:
1. 위의 점 에서
접선의 방정식을 구하라.
(풀이)
2. 에서 를 구하여라.
(풀이) =
3. 매개변수 방정식 에서 를 구하여라.
(풀이) =.
4. 이다. 역함수의 미분계수 를 구하여라.
(풀이) , 이므로 .
5. 일 때, 역함수의 미분계수 을 구하여라.
(풀이) 이므로 역함수가 존재한다.
즉, 이므 로 역함수미분법에 의해
6주:
1. 를 구하여라.
풀이) 이므로
2. 의 도함수를 구하여라.
(풀이)
3. 의 도함수를 구하여라.
(풀이)
4. 일 때, 을 구하여라.
(풀이)
5. 매개변수 방정식 에서
를 구하여라.
(풀이)
7주:
1. (1) 일 때 를 구하여라.
(2) 일 때 를 구하여라.
(3) 인 에 대하여 의
매클로린(Maclaurin)급수를 구하여라.
(풀이) (1)
이다.
2. 에서 의 Taylor급수를 구하여라.
(풀이)
3. 곡선 과 가 오직 한 점에서
만남을 보여라.
(풀이) (존재성): 교점방정식 에서,
라고 두자.
그러면 는 연속이고, ,
중간값 정리에 의하여
는 -1과 0사이에서 근을 갖는다.
(유일성): , 라고 가정하자.
그러면 Rolle Thm에 의하여
되는 가 에 존재한다.
그런데, for all
따라서 가정에 모순이므로
는 유일한 실근을 갖는다.
4. 반지름이 인 반원(즉, 에 내접하는 가장
큰 직사각형의 넓이를 구하여라.
(내접한다는 것은 직사각형의 모든 꼭지점이 반원 위에
놓여있다는 의미이다)
(풀이)
5. 임의의 실수 에 대하여 임을 보여라.
(풀이) (i) 인 경우
는 모든 실수에서 미분가능하므로 평균값 정리에 의해
인 가 존재한다.
(ii) 인 경우는 명백함
6. 일 때 의 최댓값과 최솟값을 구하여라.
(풀이) 따라서 임계점은 이다.
이상으로부터 최댓값 : 17, 최솟값 : -3.

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