[과외]고등 수학 III-3.일차변환과 도형

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3.일차변환과 도형
중
백석고,덕원여고,공항고
17. 도형 를 원점을 중심으로
만큼 회전이동시킨 도형의 방정식은?
① ② ③
④ ⑤
18. 일차변환 에 의하여 원
은 자기 자신으로 옮겨진다고 한다. 이 때,
두 점 사이의 거리는?
① 1 ② ③ ④ 2 ⑤
Ⅲ. 일차변환과 행렬
3. 일차변환과 도형
1.Ans)①
Sol)
x축 위의 한 점을 (a,0), (a,0)가 옮겨진 점을 (x,y)라 하면
=
=
⇒ x=a, y=3a
∴ y=3x
2.Ans) ②
Sol)
ax+by+c=0 위의 한 점을 (p,q)라 하면,
ap+bq+c=0 ·········· ㉠
2x+3y+1=0 위의 대응점을 (x,y)라 하면
==
⇒
⇒
∴ ㉠에서
a(x+y)+b(-2x-y)+c=0
⇒ (a-2b)x+(a-b)y+c=0 ········ ㉡
㉡과 2x+3y+1=0이 일치해야 하므로
········ ㉢
㉢ = k(k:자연수) 라 하면
a-2b=2k, a-b=3k, c=k
∴ a=5k, b=k, c=k
∴ a+b+c = 7k
∴ ②만 가능
3.Ans) ④
Sol)
행렬식 D의 값이 0인 일차변한이 구하는 답이므로, ④의 D를 구해보면
D==12-12=0
∴ ④가 답
(※) 평면위의 임의의 점을 (a,b), (a,b)가 옮겨지는 점을 (x,y)라 하고 ④의 행렬로 확인해 보면,
==
∴ x=2a+3b, y=2(2a+3b)
∴ y=2x
4.Ans) x+2y+3=0
Sol)
x+y+3=0 위의 한 점을 (a,b)라 하고, (a,b)가 옮겨지는 점을 (x,y)라 하면
a+b+3=0 … ㉠
=
= -
= -
Ⅲ. 일차변환과 행렬
3. 일차변환과 도형
=
⇒
⇒
∴ ㉠에서 -4x-7y+5x+9y+3=0
∴ x+2y+3=0
5.Ans) ④
Sol)
A=
이므로,
=
=
=
이므로 y'=x'+1
∴ a=-1, b=1
a²+b²=2
6.Ans) ⑤
Sol)
주어진 일차변환에 의하여 점(x,y)가 점(X,Y)로 옮겨진다면
=
==
∴ x=, y=Y
이것을 x+y+1=0에 대입하면
+Y+1=0
X+Y+2Y+2=0 ∴ X+3Y+2=0
따라서 직선 x+3y+2=0 으로 옮겨진다.
7.Ans)②
Sol)
일차변환 f를 나타내는 행렬을 M이라 하면,
M=, M=
M=
∴ M=
==
P(x,y)로 놓으면 P가 f에 의하여 옮겨지는 점은?
= ∴(x, x-y)
Ⅲ. 일차변환과 행렬
3. 일차변환과 도형
따라서 이 점이 정사각형의 내부에 있으려면
0< x< 1, 0< x-y <1
∴
한편 0 8.Ans) ④
Sol)
ㄱ. (반례); f가 90°가 회전변환인 경우
f(C)=E (거짓)
ㄴ. += 이므로 f(A)+f(C)=f(B),
그런데 +=이므로 f(B)=D
ㄷ. {f(A),f(C)}={C,E} 이므로, 직선 는 직선 로 변환된다. 특히 선분 AC는 선분 CE로 변환된다.
9.Ans) ④
Sol)
타원 에서 x=3cosθ, y=2sinθ
X=3cosθ-4sinθ
∴-5≤X≤5
Y=-2X 이므로 자취의 길이는
10.Ans)①
Sol)
=
이므로 f는 원점을 중심으로 45°만큼 회전이동시킨 후 원점을 중심으로 배 축소시킨 변환이다.
: = 1 :
∴ = 7·
Ⅲ. 일차변환과 행렬
3. 일차변환과 도형
11.Ans) ②
Sol)
옮겨진 후의 점을 (x',y')라 하면
==
⇒
⇒
(ⅰ) x≥y
⇒ (x'+y')≥(2y'-x')
⇒ y'≤ 2x'
(ⅱ) x≤1
⇒ (x'+y')≤1
⇒ y'≤ -x'+3
(ⅲ) y≥0
⇒ (2y'-x)≥0
⇒ y'≥x'
그림에서,
∴ △OAB의 넓이는 ××=
12.Ans) ⑤
Sol)
O,A,B의 변환점을 각각 O', A', B'라 하면
O' = =
A' = =
B' = =
그림에서
∴ △O'A'B'의 넓이는
××=3
Ⅲ. 일차변환과 행렬
3. 일차변환과 도형
13.Ans) ④
Sol)
f의 행렬을 라 하면
= ⇒=
⇒=
⇒ ······ ㉠
㉠은 x에 대한 항등식이므로
a+2b=0, -b=1, c+2d=0, -d=3
∴ a=2, b=-1, c=6, d=-3
구하는 도형 위의 한점을 (x',y')라 하면
==
∴ y'= 6x-3y = 3(2x-y) = 3x'
∴ y=3x
14.Ans) ④
Sol)
직선 l이 옮겨진 도형 위의 한 점을 (x',y')라 하면
==
⇒
⇒ ········ ㉠
㉠이 l위의 점이므로,
ax'+(1-a)y'-x'+y'-1=0
⇒ (a-1)x' +(2-a)y'-1=0 ········ ㉡
㉡이 원 C: 의 넓이를 이등분하려면 중심(1,2)를 지나야 하므로
(a-1)+2(2-a)-1=0
∴a=2
15.Ans) ①
Sol)
(ⅰ) 의 중점 (,)이 y=-2x 위의 점이므로
= -2·
⇒ 2x'+y'=-2x-y ········ ㉠
(ⅱ) ⊥ (y=-2x) 이므로
·(-2) = -1
⇒ x'-2y' = x-2y ········· ㉡
㉠,㉡에서
∴ =
Ⅲ. 일차변환과 행렬
3. 일차변환과 도형
16.Ans) ⑤
Sol)
f의 행렬을 라 하면
(ⅰ) f(P)=Q
⇒ =
⇒ =
⇒ ······ ㉠
(ⅱ) f(Q)=P
⇒ =
⇒ =
⇒ ······ ㉡
㉠,㉡에서 a=-7, b=6, c=-8, d=7
따라서 f에 의해 이동되는 식을 각각 구해보면
① 4x+3y=0 → 52x-45y=0
② 3x+4y=0 → 53x-46y=0
③ 2x-3y=0 → 10x-9y=0
④ 3x-4y=0 → 11x-10y=0
⑤ 4x-3y=0 → 4x+3y=0
∴ 답은 ⑤
17.Ans) ③
Sol)
=
=
=
=
········ ①
①을 =4 에 대입하면
(x'+y')²-(-x'+y')²=4
2x'y'=4
x'y'=2
∴ y=
18.Ans) ②
Sol)
원=1 위의 임의의 점을 (x,y)
또 이점의 상을 (x',y')라고 하면
==
점 (x',y')는 원=1 위에 있으므로 =1
Ⅲ. 일차변환과 행렬
3. 일차변환과 도형
∴ (ax+by)²+(cx+dy)²=1
식을 정리하면
(a²+c²)x²+(b²+d²)y²+2(ab+cd)xy=1
이것이 =1와 같아야 하므로
a²+c²=1, b²+d²=1, ab+cd=0
P(a,c), Q(b,d)에서
=
=
= =

키워드

행렬,   직선,   좌표평면,   방정식