[선형대수학]Jordan canonical form 구하는 방법

목차

Ⅰ. 머리말 ............................................... 2

Ⅱ. Jordan canonical form 이란 무엇인가? .......... 3
1. Jordan block ..................................... 3
2. Jordan basis ...................................... 4
3. Jordan canonical form ............................. 6

Ⅲ. Jordan canonicalform을 어떻게 찾을 것인가?.... 7
1. 점 도표의 활용 ......................................... 10
연습문제................................................... 14

Ⅳ. 맺음말 ................................................. 16

Ⅴ. 참고문헌 ................................................. 17

본문내용

-1 }&{0}#
{0 }& {~~1 }& {~~1 }&{0 }# {0}& {-1 }& {~~0 }& {~`3}~` }
풀 이 ) 행렬
A
의 특성방정식은
|A-lambda`I``|=(lambda -3)(lambda -2)^3 =0
이므로
A
는 두 개의 서로 다른 고유값(eigenvalue)
lambda_1
과
lambda_2
를 갖는다. 여기서
lambda_1 =3
은 중복도가 1이고
lambda_2 =2
는 중복도가 3이다. 따라서
lambda_1
에 대응하는 점도표는 한 개의 점을 갖고 그에 대한 점 도표는
.
이므로,
A_1
은 1×1 Jordan block 한 개, 즉
A_1 =[3]
이다.
또,
lambda_2
에 대응 하는 점 도표는 세 개의 점을 갖는다.
그리고
또,
lambda_2
에 대응 하는 점 도표는 세 개의 점을 갖는다.
그리고
r_1 =4- rank(A-2I``)=4-rank
BMATRIX { { 0}& {-1 }& {~~0 }& {1}#
{0 }& {~~1 }& {-1 }& {0}#
{0 }& {~~1 }& {-1}& {0}#
{0 }& {-1}& {~~0 }& {~1} ```}
=`4-2=2
이고
r_2 =rank`(A-2I``)-rank``[(A-2I)^2 ``]=2-1=1
이다.
(실제로
3=r_2 +`r_1 =(2)+1
이므로
r_2
는 바로 나온다).
따라서
lambda_2
에 대한 점도표는
r_1 =2
: . .
r_2 =1
: .
이다.
따라서
A
는 2×2 Jordan block이 한 개이고 1×1 Jordan block이 한 개다. 즉,
A_2 = BMATRIX { { 2}& {1 }& {0 }#
{0 }& {2 }& {0 }#
{0 }& {0 }& {2 } }
그러므로 행렬
A
의 Jordan 표준형은 다음과 같다.
J_A = BMATRIX { { A_1}& {0 }#
{0 }& {A_2 } }
=
BMATRIX { { 3}& {0 }& {0 }& {0}#
{0 }& {2 }& {1 }&{0 }#
{0 }& {0 }& {2 }&{0 }#
{0 }& {0 }& {0 }& {2 } }
연습문제
1, 주어진 행렬
A
의 Jordan basis를 구하시오
2, 1번의 jordan basis를 이용하여 주어진 행렬의 jordan canonical form을 구하시오
A= BMATRIX { { 3}& { 1}& { -2}#
{-1 }& {0 }& {5 }#
{-1 }& {-1 }& {``4 }`` }
1번 풀이 ▶ 먼저, 행렬 A 의 고유값을 구한다.
I A -λI I ＝ -(λ-3)(λ-2)2 이므로, 행렬 A는 두 개의 서 로 다른 고유값 λ1= 3, λ2 = 2를 갖는다.
case1) if λ1= 3
정의에 따라 Eλ1과 Kλ1를 계산해 보면,
Eλ1 = { (-1 2 1)Tt I t ∈ R }이고,
Kλ1 = { (-1 2 1)T sI s ∈ R }이다.
따라서, Eλ1 ＝ Kλ1 이다.
그러므로, Kλ1 의 basis는 β1 = { (-1 2 1)T }이 된다.
case2) if λ2 = 2
Eλ2 = { (1 -3 -1)TtI t ∈ R }이고
Kλ2 = { (1 0 2)Ts + (0 1 1)Tt I s,t ∈ R }이다.
따라서, Eλ2 ≠ Kλ2이다.
Kλ 의 basis는 β2 = { (0 1 1)T, (-1 3 1)T }이다.
∴ β1∪β2 〓 { (-1 2 1)T, (0 1 1)T, (-1 3 1)T }가 행렬
A
의 Jordan basis가 된다.
2번 풀 이 ▶ 위의 예제 2.1.1 풀이에서 구한
A
의 Jordan basis로 이루어진 행렬 Q를 다음과 같이 두면,
put
Q=BMATRIX { {-1 }& { -1}& {0}#
{ 2}& {3}& {1}#
{ 1}& {1}& { 1} }
then Jordan canonical form of matrix
A
is
Q-1AQ=
BMATRIX { { 3}& { 0}& {0 }#
{0 }& {2 }& { 1}#
{ 0}& { 0}& {2 } }
Ⅳ. 맺음말
n차의 정방행렬 A가 n개의 일차 독립인 고유벡터(eigenvector)를 가지면 대각화 가능하다는 것을 앞에서 배웠다. 또, 행렬 A가 유니터리 대각화가능일 필요 충분 조건은 행렬 A가 정규행렬(normal martrix)인 것이다.
이 경우 A는 n개의 정규직교인 고유벡터(eigenvector)를 갖고, 이 고유벡터(eigenvector)를 열로 갖는 행렬 U는 유니터리 행렬이며
{ U}^{ *} AU
는 고유값(eigenvalue)
{ lambda }_{ i}
를 대각선 성분으로 갖는 대각행렬이다.
대각화 가능한 행렬을 다루는 것은 이론적으로나 실제에 모두 대각행렬을 다루는 것과 같이 쉽다. 그러나 일반적으로 모든 n차의 정사각행렬이 모두 n개의 일차독립인 고유벡터(eigenvector)를 갖지는 않으므로 대각화 가능한 것은 아니다.
그러나 복소 벡터공간에서는 Schur 정리에 의하여 모든 정방행렬은 자신의 고유값(eigenvalue)을 주대각선 성분으로 갖는 상삼각행렬과 유니터리닮음임을 알고 있다.
아울러 모든 행렬들에 대하여 주어진 행렬과 닮은 행렬들의 모임에서 공통적으로 가능한 한 간단한 한 개의 대표 행렬들의 모임을 찾는 문제로서 그와 같은 간단한 대표행렬들의 표준형식(Canonical form)을 찾을 수 있다면 그 집합에 속하는 행렬들을 닮음행렬들의 모임에서 대표행렬로 나타낼 수 있고, 닮음집합으로 정방행렬을 정확하게 분류할 수 있다.
이러한 해결방법 중에 가장 중요한 것이 Jordan canonical form이며 이를 이용하여 행렬의 대각화가 가능해짐으로서 어떤 주어진 이론의 전개과정이 단순화되어 같은 결론을 보다 쉽게 얻을 수 있다.
Ⅴ. 참고 문헌
1.「선형대수학」 금종해. 경문사
2.「대칭행렬의 대각화」 김원택. 연세대교육대학원 석사논문.1998
3.「선형대수학과 응용」 신항균외 3명. 경문사
4.「Linear Algebra (second edition) SERGE LANG . 탑 출판사

키워드

선형대수학,   Jordan canonical form