원형 단면의 비틀림 모멘트 측정

본문내용

잡았을 때의 비율과 일치하지도 않는다. 그리고 기준으로 잡는 중실축의 단면적에 따라 최대 외경제한을 같게 정해놓는다고 해도 외경과 내경의 비율은 앞의 조건에서의 값과 다르다.
아래에 제시한 것은 중실축의 외경을 정한 상태에서 중공축의 내경과 외경을 구한 값과 그래프이다. 언뜻 보기에는 선형적으로 보이나 실제로는 내경/외경 비율이 1에 근접하는 값으로 계속 변한다는 것을 알 수 있다.
중실축과 중공축의 단면적이 같다고 하면
라는 식이 나온다.
위 식을 정리하면
이러한 관계식이 나온다.
수치해석적으로 접근하기 위해 중실축 직경을 10센티미터로 설정하면
에 의해 중공축의 외경을 알 수 있다.
내경 값(1cm <= 내경 <= 1000cm)을 정의역으로 하는 함수는 다음과 같다.
중실축직경
중실축 단면적
중실축 면적모멘트
10
78.53981634
981.7477042
중공축 단면적
중공축 면적모멘트
내경/외경
10.04987562
1
78.53981634
1001.382658
0.099503719
10.19803903
2
78.53981634
1060.287521
0.196116135
10.44030651
3
78.53981634
1158.462291
0.287347886
10.77032961
4
78.53981634
1295.90697
0.371390676
11.18033989
5
78.53981634
1472.621556
0.447213595
11.66190379
6
78.53981634
1688.606051
0.514495755
12.20655562
7
78.53981634
1943.860454
0.573462344
12.80624847
8
78.53981634
2238.384766
0.624695048
13.45362405
9
78.53981634
2572.178985
0.668964732
14.14213562
10
78.53981634
2945.243113
0.707106781
14.86606875
11
78.53981634
3357.577149
0.739940073
15.62049935
12
78.53981634
3809.181092
0.76822128
16.40121947
13
78.53981634
4300.054945
0.792623989
17.20465053
14
78.53981634
4830.198705
0.813733471
987.0506573
987
78.53981634
19128745.33
0.999948574
988.050606
988
78.53981634
19167524.37
0.999948678
989.0505548
989
78.53981634
19206342.67
0.999948782
990.0505038
990
78.53981634
19245200.25
0.999948885
991.0504528
991
78.53981634
19284097.09
0.999948989
992.0504019
992
78.53981634
19323033.2
0.999949092
993.0503512
993
78.53981634
19362008.59
0.999949194
994.0503005
994
78.53981634
19401023.24
0.999949296
995.05025
995
78.53981634
19440077.17
0.999949398
996.0501995
996
78.53981634
19479170.36
0.9999495
997.0501492
997
78.53981634
19518302.82
0.999949601
998.0500989
998
78.53981634
19557474.56
0.999949702
999.0500488
999
78.53981634
19596685.56
0.999949803
1000.049999
1000
78.53981634
19635935.83
0.999949904
※ 추가 이론
1. 전단변형율
- 그림과 같이 비틀림각이 이며 길이 L, 반지름 c인 원형축의 전단변형률의 분포를 알아보자.
우선 그림상의 원통을 축에서 분리하고, 원통상에 두 인접원과, 두 인접직선이 만든 미소정방형 요소를 생각했을 때, 축이 비틀림 하중을 받으면 미소정방요소는 그림과 같이 마름모꼴로 변형된다. 이 요소의 전단변형률 은 이 요소의 변들에 의해 형성된 각의 변화로 측정되는데, 요소의 두 변을 정의하는 원은 변화하지 않기 때문에 전단변형률 은 AB와 A'B'사이의 각과 동일하다.(각의 단위는 radian).
따라서 그림에 의해,
은 모두 라디안(radian)으로 표시되고, 이 식은 비틀림을 밭는 축의 임의점에서 전단변형률이 비틀림각 와 비례한다는 것을 의미한다. 또한 이것은 가 축선으로부터 임의점까지의 거리 에 핍P한다는 것을 보여준다. 즉, 원형축의 전단변형률은 축선으로부터 거리에 따라 직선적으로 변화한다.
또한 위의 식을 통해 전단변형률이 축의 표면에서 최대라는 것을 알 수 있는데, 축의 표면라 하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.
2. 전단응력(탄성영역 내에서의 응력)
- 실제의 모든 경우 축의 응력은 탄성한계 이하에 있으므로, 훅의 법칙이 적용된다.
식의 양 변에 G를 곱하면 가 되고, 이에 대해 훅의 법칙을 적용하면 다음과 같다
여기서 축단면에 작용한 모멘트의 합은 축에 작용한 토크 T와 같으므로,
을 대입하면,
여기서 마지막 항의 적분 부분은 중심 O에 대한 단면의 극관성모멘트 를 나타내므로,
이 식에서 나타난 에 대한 식을
탄성비틀림 공식이라고 한다.
3. 탄성한계내에서의 비틀림각
- 옆의 그림과 같이 길이가 L이고 반지름이
c인 균일한 축이 자유단에서 토크 T를 받으면,
그러나 탄성한계 내에서는 축의 어느 곳에서도 항복응력을 초과하지 않는다. 따라서 훅의 법칙을 적용하면,
이 두 식을 통해 에 관한 식을 만들 수 있다.
4. 원형단면의 극관성모멘트
- 극관성모멘트 에서,
밑의 그림과 같이 반지름이고 두께인 원환을 면적요소로 택한다. 원환 내의 모든 점은 원점 O로부터 똑같은 거리 에 있기 때문에 원환의 극관성모멘트는 다음과 같다.
를 0부터 c까지 적분하면 원형 단면의 극관성모멘트를 구할 수 있다.
원형단면의 직경 이면,

키워드

비틀림 모멘트,   비틀림,   중공축,   중실축,   축 설계