Auto-correlation 과 Spectral density

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본문내용

얻을 수 있다.
3. 실 험 방 법
①Function generator와 signal analyzer를 이용하여 실험 장치를 구헝한다
②입력 전압은 5V, 입력 주파수는 100 Hz로 한다.
③입력된 sine wave signal의 auto-correlation과 spectral density를 signal analyzer를 통하여 구한다. 입력된 square wave signal의 auto-correlation과 spectral density를 signal analyzer를 통하여 구한다. 입력된 random signal의 auto-correlation과 spectral density를 signal analyzer를 통하여 구한다.
4.결 과
♠Sine wave
1) auto-correlation
2)Spectral density
Dirac delta function을 이용하면, 다음과 같은 관계가 있다.
위 식을 Fourier 변환하면 다음과 같다.
위의 관계를 이용하면, PSD는 다음과 같이 구해진다.
여기서, 는 측정시간, 는 sine 함수의 주기이다.
♠Sqare wave
1) Autocorrelation
의 식을 이용한다. 그런데 입력하는 Sqare wave가 주기적으로 변하기 때문에 주기 T를 로 보내더라도 의미가 없게 된다. 따라서 임의 주기 T만큼의 값을 구해서 입력과 마찬가지로 주기적으로 변할 것이라는 것을 예측할 수 있다.
주기함수가 아니므로 두단계로 나누어 생각한다.
그리고나서 를 대입하면 된다.
먼저 일 때
for
다음으로, 일 때
for
출력(Autocorrelation)에 대한 그림을 그려보면
위 그림에서 보듯이 진폭은 이고 주기는 변함이 없다는 것을 알 수 있다.
2) Power Spectral density
sqare wave는 우함수 이므로 Fourier Cosine Transform을 이용한다. 또한 적분구간은 으로 택한다.
,
,
이므로
결과값을 분석할 수가 없었다. 답이 틀렸을 수도 있지만....
Auto-correlation of sine wave
Frequency [Hz]
Amplitude [V]
시 간 영 역
주 파 수 영 역
시 간 영 역
주 파 수 영 역
오 차 (%)
오 차 (%)
1 st
100
100
12.5
12.371
0 %
1.03 %

Spectral density of sine wave
Frequency [Hz]
Amplitude [V]
시 간 영 역
주 파 수 영 역
시 간 영 역
주 파 수 영 역
오 차 (%)
오 차 (%)
1 st
100
100
12.5
12.371
0 %
1.03 %

Auto-correlation of sqare wave
Frequency [Hz]
Amplitude [V]
시 간 영 역
주 파 수 영 역
시 간 영 역
주 파 수 영 역
오 차 (%)
오 차 (%)
1 st
100
100
25
23.648
0 %
5.4 %

Spectral density of sqare wave
Frequency [Hz]
Amplitude [V]
시 간 영 역
주 파 수 영 역
시 간 영 역
주 파 수 영 역
오 차 (%)
오 차 (%)
1 st
100
20.141
♠Cosine 의 Autocorrelation 과 Spectral density
1)Autocorrelation
2) Power Spectral density
주어진 함수(Cosine의 Autocorrelation 값)가 기함수(sin 함수)이므로 Fourier Sine Transform을 사용하면 된다. 공업수학(Kreyszig)책 page 620의 공식을 적어보면
if 0 otherwise
이다. 그런데 우리가 입력한 sine wave는 일정한 구간만의 sine graph가 아닌 에서 까지였다.
5. 고 찰
이번실험에 대해서는 아는 것이 별로 없었다. 솔직히 Autocorrelation과 Spectral density에 대해서는 어디선가 들어본것도 같지만, 그것의 계산과정과 또 그것이 무엇을 의미하는지는 이번실험에서 처음 들었다. 물론 Autocorrelation과 Spectral density에 대한 식들은 친절하게 교과서에 적혀 있었다. Autocorrelation에 관해서는 계산을 그럭저럭 할 수가 있었는데, Spectral density에 관해서는 정말 계산이 너무나 어려웠다. 교재에서도 sine wave에 관한 PSD를 구해놨는데, 그것은 과정이 별로 없고 Delta Function을 이용해서 구한 것이라서 결과만을 data에 적기에 바빴다. Cosine과 Sqare wave에 관한 PSD값은 도저히 구할 수가 없었다. 겨우 도서관에서 관련 책들을 찾아서 읽어보긴 했지만, sqare wave에 관한 PSD는 정확히 구할 수가 없었다. 너무나 어려웠다. 주파수에 관한 사항은 잘 알 수가 없어서 내 스스로 판단해서 적은 것들이다. 정확이 맞는지 모르겠다. square wave에 관한 Autocorrelation에 관한 사항은 참고도서가 많이 도움이 되었다.
오차는 그래도 적게 나온 수준이라고 생각한다. 계산은 힘들었지만, 계산결과와 분석기에서 나온 값들의 오차가 적어서 조금은 만족스럽다.
6. 결 론
불규칙 신호(Random Signal)나 주기함수를 진동에 관한 곳에 이용할 때 그것들의 특성(Property)과 성질을 파악해서 이용해야 할 때가 있다. 이때 이들의 성질을 표현 할때 Auto-correlation이나 PSD를 이용하여 그 함수의 특성과 성질을 알아낼 수 있다. 이로써 signal analyzer를 통해 주어진 Data를 통계적인 방법으로 비주기 신호까지 해석할 수 있다.
7. 참 고 문 헌
Advanced Engineering Mathematics (7th Edition) - Kreyszig
An Introduction to Random Vibrations and Spectral Analysis (2 nd) - D.E.Newland.
Mechanocal Vibrations - Singiresu S. Rao

키워드

진동, 비틀림, 기계실험, 보고서, Spectral density, Auto-correlation

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