진동에 관한 실험보고서

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본문내용

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<그림 6-2>에서처럼 축의 미소 길이 dz에 대하여 미소 각 변위 가 발생한다면 변형 후와 변형 전의 각 변위차로 정의되는 전단 변형률, 는 다음과 같다.
(6.1)
<그림 6-2> 축의 비틀림 기하학
어떤 축이 비틀림 모멘트를 받는 하중 상태라 할 때 이 축이 탄성 부재 즉 Hook's law를 만족한다고 가정하자. 그러면 응력과 변형률 관계에서 축에 발생하는 전단 응력, 는 다음과 같음을 고체 역학에서 배웠다.
(6.2)
여기서, : 전단 계수( shear modulus)
: 전단 변형률(shear strain)
따라서 축이 비틀림에 따라 미소 단면적에 다음과 같은 복원 모멘트를 일으킬 것이다.
(6.3)
위 식을 봉의 단면적에 따라 적분을 수행하면 다음과 같다.
(6.4)
윗 식에서 변수를 분리하고 축의 길이를 따라 적분해 주면 아래와 같이 전개된다.
(6.5)
그러므로 축의 비틀림 복원 모멘트는 다음과 같이 구할 수 있다.
(6.6)
여기서, Mt : 비틀림에 의한 축의 복원 모멘트
: 단면의 2차 극관성 모멘트
G : 비틀림 강성도( Shear modulus )
L : 막대의 길이
: 막대 축의 중심에서 평형 위치에 대한 Flywheel 의 각변위
위 식에서 복원 모멘트는 비틀림 각에 선형적으로 비례하여 그 비례 상수를 Torsional spring constant, K 로 정의하면 다음과 같이 된다.
(6.7)
<그림 6-3> 의 자유 물체도
이제 이 복원 모멘트와 Flywheel 의 운동을 관련시켜 보자.
Fiywheel 의 자유 물체도로부터 Newton 의 제 2 법칙을 이용하여 운동 방정식을 세워보면 아래와 같다.
(6.8)
(6.10)
여기서,
: 중심축에 대한 극관성 질량 모멘트
: (원)
: (직사각형)
(여기서 a,b는 각각 사각 플레이트의 길이 및 높이)
식 (6.10)에서 를 다음과 같이 놓고 전개해 보자.
(6.11)
그러면 (6.10)식은 아래와 동등한 형식이 된다.
(6.12)
위 식 (6.12)는 공업수학에서 배운 제차 2계 선형 미분 방정식이 된다. 따라서, 로 놓고 2번 연속 미분한 후 윗 식에 대입하고 를 구하면 를 구할 수 있다. 중첩법에 의해 를 풀면 최종적으로 다음과 같은 일반해를 구할 수 있다.
(6.13)
따라서 식(6.11)에서 정의한 는 진동의 각주파수가 되고 이로부터 진동수를 구하는 식을 다음과 같이 쓸 수 있다.
(6.14)
이 (6.14)식에 (6.7)식에서 구한 를 대입하는 우리가 구하고자 하는 진동수를 다음과 같이 이론적으로 구할 수 있게 된다.
(6.15)
3. 실험 방법
① <그림 6-4>와 같은 실험 장비를 준비한다.
② Flywheel을 미소 각 변위시켜 10회 주기를 측정하여 을 채운다.
③ 가속도계와 주파수 분석기를 이용하여 주파수를 측정한다.
④ 가속도계의 위치를 변경시켜가면서 주파수 분석기에 나오는 주파수 특성을 관찰한다.
4. 실험 결과
● DATA SHEET

Stop-Watch를 이용한 주기 측정
횟 수
10 T[sec]
1
5.33
2
5.57
3
5.57
4
5.33
5
5.78
6
5.50
7
5.53
8
5.40
9
5.47
10
5.48
평 균
5.496
▶ Stop-Watch 를 이용하여 측정한 주기 및 진동수
▶ 가속도계를 이용하여 측정한 비틀림 진동수
▶이론적 관성 모멘트를 구하기 위한 실험 장치의 물성치
봉의 지름( ) :
봉의 길이( ) :
봉의 강성도( ) : 80
section ①
section ②
section ③
section ④
※오 차
1)실험과의 오차
실험값 :
이론값 :
오차
2)주파수 분석기와의 오차
주파수 분석값 :
이론값 :
오차
5. 고 찰
오차가 대략 2～6%정도의 실험치를 구했다. 오차의 원인으로는
첫째, 앞서 질량 관성 모멘트를 측정하였던 실험들과 마찬가지로 사람이 Stop-Watch를 이용해 측정했기 때문에 정확히 10회 운동했을 때의 시각과 또한 Stop-Watch를 정확히 눌렀는가 의 여부 등에서 오차가 났으리라고 생각한다.
둘째, 이번 실험에서는 주파수분석기를 통하여 측정한 주파수가 stop watch로 측정한 값보다 오 차가 더컸다. 그 이유로는 어느 실험에서나 마찬가지 였지만, 값이 문제인 것 같다. 이론 식을 이끌어 낼 때 값이 상당히 작은 값이라고 가정하고 풀이를 했었는데, 실험시에는 그렇지 못했었다. 만약 값을 작게 하고 측정했더라면 측정값이 더 정확하게 나올수 있었 겠지만, stop watch로 측정시 가 작으면 측정하기가 상당히 어려운점이 있었다.
이번 실험은 오차의 원인에 의하면 어느 정도 만족할만한 정도의 오차가 나왔다. 오차가
모두 2～6%이하의 값이기 때문에 주파수는 정확한 값이라고 생각한다.
▶주파수가 주파수 분석기에 잘 나오기 위한 가속도계의 위치
주파수가 주파수 분석기에 잘 나오기 위한 가속도계의 위치는 4번 부분이라고 생각한다. 그 지점에 있어야 가속도계가 가장 효율적으로 작동되리라 생각한다. 왜냐하면 그 부분이 진동의 진폭이 가장 큰 부분이고 여기서 측정해야 정확한 주기측정이 가능하다고 생각한다. 주파수는 우리가 측정한 주기값에 의해서 구해지는 것이기 때문에 주기 측정이 가장 용이한 곳이 좋을 것이다.
6. 결 론
-한쪽 끝은 고정되어 있고 다른 한쪽 끝은 자유로운 축의 비틀림 진동수를 실험적으로 직접측정하지 않고 축의 면적 2차 모멘트와 축을 비트는 부위의 질량 관성 모멘트를 이용하여 구할 수 있는 것을 알았다. 그리고, 탄성축의 비틀림에 의한 강체의 회전 진동운동에서 주파수를 측정하는 방법도 알 수 있게 되었다. 또한, 이론적으로 복잡한 주파수 분석을 가속도계와 주파수 분석기를 통하여 쉽게 구할 수 있다는 것을 알게 되었다.
7. 참고 문헌
[ Vector Mechanics for Engineer 2nd Edition /statics ] / Beer & Johnston / McGrowHill
[ An Introduction to the Mechanics of Solids ] / Crandall / McGrowHill

키워드

관성, 모멘트, 진도, 기계실험, 비틀림, 진동

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