동역학 단진자(Simple Pendulum) 실험

목차

Ⅰ. 실험 목적

Ⅱ. 실험이론

Ⅲ . 실험방법 및 측정치

Ⅳ . 결과 및 고찰

실험 측정 데이터 SHEET

Ⅴ. 고찰

※ 참고 문헌

본문내용

ig.11에서 디스크의 질량 관성모멘트는 다음과 같이 구할 수 있다.
그림 4. 비틀림 봉의 스프링상수 측정 장치의 관성모멘트 계산
9. 비틀림 봉의 면적 극관성모멘트
면적 극관성모멘트는 다음과 같이 정의된다.
이 정의에 의해서 비틀림 봉의 면적 극관성모멘트는 다음과 같이 구할 수 있다.
재료역학적인 방법에 의한 계산
비틀림 봉의 스프링상수는 다음 식으로 유도된다.
그림 5. 재료역학적인 방법에 의한 스프링상수 계산
10. 단진자의 주기
단진자의 운동방정식은 다음과 같이 주어진다.
Harmonic balance법을 사용하기 위해 식(1)의 일반해를 다음과 같이 가정하자.
식(2)를 식(1)에 대입하고 Taylor급수에 의하면
이므로, 식(3)에서 3차항을 포함한 고차항을 무시하고 이를 대입하면 다음식이 유도된다.
식(4)에 식(3)를 대입한 후 정리하면
이 유도된다. 식(5)에서 스칼라항은 영이 되어야한다. 따라서
식(6)로부터 다음 관계식이 유도된다.
식(7)은 가 진폭 A의 함수이며 그 값은 진폭 A가 커질수록 작아지는 것을 보여주고 있다.
Ⅲ . 실험방법 및 측정치
1. 측정값에 의한 질량 관성모멘트와 이론으로 구한 값을 비교한다.
2. 비틀림 봉의 스프링 상수를 진동특성을 이용해 측정한 후, 재료역학적 방법에 의해 스프링 상수를 계산 비교한다.
3. 단진자의 초기 각도에 따른 주기 측정과 비선형성에 대하여 토의한다.
Ⅳ . 결과 및 고찰
실험 측정 데이터 SHEET
Ⅰ. Moment of Inertia
1. 적분에 의한 방법 (ρ=7850 kg/m3, t=0.04m)
질량 = 밀도 × 부피 = 0.349 × 0.04 × 0.04 × 7850 = 4.38kg
회(No)
가 로
세 로
질 량
질량관성모멘트
1
34.9cm
4cm
4.38kg
0.0450
2. 실험에 의한 방법
회(No)
질량
줄의길이
줄사이의
거리
측정시간
왕복횟수
주파수
질량관성모멘트
1
4.38kg
26.6cm
24.6cm
8.36s
10
1.196Hz
0.0433
2
16.89s
20
1.184Hz
0.0442
3
25.17s
30
1.192Hz
0.0436
평 균
1.191Hz
0.0436
Ⅱ. Torsion-Bar
1. 재료역학적인 방법
관성모멘트 :
스프링 상수 :
회(No)
Bar의 길이
Bar의 직경
관성모멘트(Ja)
스프링상수(Kt)
1
39.5cm
0.4cm
2.513×10-11
5.090
2. 실험에 의한 방법
디스크의 질량관성 모멘트 :
스프링 상수 :
회(No)
원판의
질량
원판의
직경
질량관성모멘트
측정시간
왕복횟수
주파수
스프링상수(Kt')
1
1.665kg
30cm
0.0187
7.91s
20회
2.528Hz
4.178
Ⅲ. Simple Pendulum
실험값 = 왕복횟수 / 시간
이론값 →ωn= [Hz]
초기각도
측정시간
왕복횟수
주 파 수
실험값
이론값
10°
11.90s
10회
0.8403Hz
0.7974Hz
45°
12.60s
0.7937Hz
80°
13.47s
0.7424Hz
Ⅴ. 고찰
이번 실험은 우리가 재료 역학 시간이나 동역학 시간에 배운 이론적인 질량관성 모멘트와 극관성 모멘트 그리고 스프링 상수등을 이론치와 실험치를 비교해 보는 실험 이었다.
1. 질량 관성 모멘트
실험에 의한 값은 0.0450 이론식에 의한 값은 0.0436으로 오차는 대략 3.1% 정도로 대단히 이론치에 근접하게 나왔다. 실험을 잘했다고 볼 수 있는 부분이다. 왕복 횟수를 늘려가며 3번 정도 실험을 해 보았는데 3번다 비슷한 값을 얻었고 그 값들은 이론치에 대단히 근접 함을 알 수 있다. 우리가 재료역학 시간에 배운 식이 정확하다는 것을 알 수 있다.
이번 실험을 통하여 질량 관성모멘트에 대하여 다시한번 살펴 볼 수 있는 좋은 기회였다.
2. 스프링링 상수 측정 : 비틀림 봉 (Torsion Bar)
이 실험은 원형 판이 달린 봉을 가지고 여기에 진동을 주어 질량 관성 모멘트와 스프링 상수를 측정하는 실험이었다. 이 실험은 이론값이 5.090, 실험값이 4.178로 약 17.9%의 오차를 가졌다. 이실험 역시 첫 번째 실헌에 비하면 오차는 비교적 커졌으나 실험은 비교적 정확했다고 생각한다. 오차의 원인이 비교적 명확하기 때문이다. 비틀림 같은 경우 주파수가 다른 두 실험에 비하여 큰 것을 알 수 있다. 그만큼 실험을 하면서 숫자를 세기가 힘들었고, 따라서 시간역시 조금만 틀려져도 크게 오차가 나가 때문에 이 정도의 오차는 잘 되었다고 본다. 그밖에 디스크 용접부위의 응력집중이나. 길이 및 지름의 오차등도 이런 결과를 발생시킨 한 원인이라고 생각한다.
3.비선형진동의 이해를 위한 실험 : 단진자 (Simple Pendulum)
이 실험은 단진자를 왕복운동 시키고 이 운동을 통해 이론값과 실험값의 주파수를 비교해 보는 실험이었다. 실험값은 평균적으로 0.7921Hz의 주파수를 가졌고, 이론치는 0.7974Hz으로 오차는 0.67%로 매우 정확하게 나왔다. 이 실험이 전체 세 개의 실험중 가장 작은 오차값을 가졌다. 이론값이 약간 큰 값을 가졌다. 실제 역시 θ의 고차 항들을 소거하고 이론치를 계산 하였으므로 이론값이 약간은 더 크게 나와야 정상적인 실험이 이루어 졌다고 볼 수 있다. 단진자 실험을 통하여 이론값과 실험값을 비교해 보았고 그 결과역시 매우 정확하다고 결론 내릴 수 있다.
※ 단진자 운동 방정식에서 고유 진동수의 유도
단진자 운동방정식은 , 이라고 할 수 있다.
를 Taylor 급수에 따라 전개하면,
으로 정리 할수 있다. 여기서 이기 때문에, 고차항은 모두다 생략이 가능하고, 결국
으로 바꿀수 있다.
한편 여기서 단진자 운동을 일으키는 힘은 이므로 뉴턴의 2법칙을 적용하면, , 즉 라 할 수 있다.
또한 단진자는 원운동을 하므로 이다. 그러므로 이다. 따라서 단진자 운동 방정식은 가 되고 가 되기 때문에 단진자 운동 방정식은 가 된다. 이 식을 처음 식에 넣어 전개하면 이 된다.
※ 참고 문헌
재료역학 / 임상전 / 문운당 / 2003.1
http://bridgelab.hanyang.ac.kr/data/ch9.hwp
실험용 강의노트, 매뉴얼

키워드

역학,   실험,   기계,   진동,   관성