[유체역학] 『Euler(오일러)의 연속방정식과 운동방정식』에 대하여

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[유체역학] 『Euler(오일러)의 연속방정식과 운동방정식』에 대하여에 대한 보고서 자료입니다.

목차

1. Euler(오일러)의 운동방정식

2. Euler 의 연속방정식
1) 일반 유동에 대한 연속방정식
2) 1차원 유동에 대한 연속방정식

본문내용

압력 : P(x, y, ,t)xy
CDFE 면에 작용하는 압력 : P(x, y, ,t)xy
두 면에 작용하는 압력차 : - xyz + 0((z)²)xy
따라서, 위에 식들을 이용하여, 정리하면
F = ma = 질량력 + 압력
xyz = xyzX - xyz
위 식을 xyz로 나누어 정리하면
∴ = X - 이 된다.
같은 방법으로 y, z 방향에 대해서도 구하여 x, y, z 전 방향에 대해 정리하면
= X -
= Y -
= Z - 가 된다.
이것을 풀어서 정리하면
+ + + = X -
+ + + = Y -
+ + + = Z -
이 방정식은 이상유체의 운동에 대한 기본방정식으로 이를 Euler의 운동방정식 (Euler's equation of motion, 1755)이라고 한다.
2. Euler 의 연속방정식
1) 일반 유동에 대한 연속방정식
위에 운동방정식과 마찬가지로, 중심(x, y, z), 각 변의 길이가 (x, y, z),
중심에서의 속도성분이 각각 (U, V, W), 밀도가 인 미소 직육면체를 생각해
보자. 우선 x축에 수직인 두면 (ABCD면, EFGH면)을 통하여 미소시간 t
동안에 발생한 유체의 유입과 유출에 의한 질량의 증가분에 대하여 생각해보자.
t시간 동안에 EFGH면을 통하여 유입하는 유체의 질량은
t시간 동안에 ABCD면을 통하여 유출하는 유체의 질량은
결국, x방향에 대한 유체의 유출입에 의한 질량의 증가분은 다음과 같다.
= - xyzt
t시간 동안에 ACGF 면을 통하여 유입하는 유체의 질량은
t시간 동안에 BDEH 면을 통하여 유출하는 유체의 질량은
결국, Y방향에 대한 유체의 유출입에 의한 질량의 증가분은 다음과 같다.
= - xyzt
t시간 동안에 CDEF 면을 통하여 유입하는 유체의 질량은
t시간 동안에 ABGH 면을 통하여 유출하는 유체의 질량은
결국, Z방향에 대한 유체의 유출입에 의한 질량의 증가분은 다음과 같다.
= - xyzt
따라서 t시간 동안에 유체의 유출입에 의한 미소 직육면체 내의 총질량의
증가량은 x, y, z방향의 질량의 증가분의 합으로 구해진다.
- [+ +]xyzt (식 . 1)
한편, 미소 직육면체의 체적(xyz)은 불변이므로, 이러한 t시간 동안의 질량증가분은 직육면체 내의 밀도증가 ∂/∂t를 유발시킨다. 최초의 질량
xyz가 t시간 경과한 후에 증가한 질량(밀도의 증가분 x 체적)은
= xyzt 이다. (식 . 2)
질량 보존의 법칙에 의해서 (식 .1)과 (식 .2)는 같아야 하므로
+ + + = 0
질량보존의 법칙 (law of mass conservation)에 의해서 이 방정식을 연속방정식(equation of continuity)이라 한다. 위의 식은
[ + + + ]+ [ + +] = 0
와 같이 전개되므로, 다음과 같이 나타낼 수 있다.
div v = 0, 혹은
위의 식 중의 D/Dt는 실질미분 연산자, v는 속도 벡터, div(혹은∇ )는 속도 v의 발산(發散 divergence)을 의미한다.
특히, 비압축성 유체(incompressible fluid)인 경우에는 밀도일정하므로,
+ + = 0, 또는 div v = 0 로 된다.
밀도 가 일정한 유체는 물론 비압축성 유체이지만, 성층밀도류(成層密度流)와
같이 공간적으로 밀도가 달라서 가 일정하지 않은 경우도 있다.
위의 유도과정에 있어서 유체의 점성에 대해서는 고려하고 있지 않으므로,
이 연속방정식은 점성유체의 경우에도 적용된다.
2) 1차원 유동에 대한 연속방정식
위의 그림과 같이 단면이 일정하지 않은 관내의 흐름을 생각해 보자. 관내의
흐름방향을 s 라 하고, 미소길이 ds 만큼 떨어진 Ⅰ,Ⅱ 단면에 있어서의 단면적을
각 각 과 = +, 평균유속을 과 = +, 밀도를 및
= 라고 하자. 미소시간 dt시간 동안에 단면Ⅰ을 통과하여 ds
부분에 유입한 질량은 , 단면 Ⅱ를 통해 유출하는 질량은 가
되고 그 차이만큼 ds구간의 질량이 증가한다. ds 구간의 질량이 dt 시간동안에
증가한 양은 가 되므로, 질량보존의 법칙에 의해 다음과 같은 관계가
성립한다.
- =
를 위의 식에 대입하고 2차 이상의 항은 생략하면
-( + +) =
∴ + = 0
비압축성 유체에 대해서는 ρ = const. 이므로 위에 식은 다음과 같이 된다.
= 0
이 식을 적분하면,
∴ Q=AV
즉, 관 내(또는 유수)의 단면적과 그 점에서의 유속을 곱한 것은 항상 일정하다.
그리고 이것을 Q라 쓰고 유량(discharge)이라고 한다.

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