Fourier Series & Fourier Transform

소개글

Fourier Series & Fourier Transform 에 대한 보고서 자료입니다.

목차

1. 명제
2. 설계 목적
3. 관련 이론
4. 설계 과정
5. Fourier Series
6. Fourier Transform
7. 설계 결과 분석
8. 결론

본문내용

1. Fourier Series
- Fourier Series는 주어진 신호를 직교 함수로 표현하는 방법 중의 하나로 통신에 관련된 문제를 해결하는데 유용하게 사용된다. 이때 사용하는 직교 함수 종류에 따라 삼각 함수 퓨리에 전개와 복수 지수 퓨리에 전개가 있다. 일반적으로 전자공학에서는 복수 지수 퓨리에 시리즈를 많이 사용한다. 퓨리에 전개에 의하면 임의의 주기신호는 complex exponential 함수의 합으로 표현이 가능하다. 따라서 퓨리에 시리즈는 다음과 같이 표현된다.
만약 시간이 0이 되게 된다면 그 때의 값은 가 된다. 따라서 값이 감소함에 따라서 주파수 영역에서의 그래프는 축에 가까워지게 되고, 값이 감소함에 따라 동일하게 주파수 영역에서의 그래프는 축에 가까워지게 된다.
2. Fourier Transform
- 퓨리에 전개는 주기 신호를 여러 주파수의 정현파 또는 복소 지수 함수들의 합으로 나타내는 것으로, 연속적인 주파수 성분이 아니라, 기본 주파수의 정수 배 성분만 존재하므로 신호의 스펙트럼은 불연속적인 선 스펙트럼이 된다. 그러나 전자공학에서 다루는 많은 신호들은 일반적으로 주기성을 갖지 않는다. 퓨리에 변환은 비주기 신호를 분석하는데 사용되는 주파수 분석 기법이다. 퓨리에 변환은 다음과 같이 표현된다.
1. Fourier Series
(1) Matlab을 이용하여 주기를 가지는 구형파 펄스 생성
(2) Matlab을 이용하여 Fourier Series 프로그램 작성
(3) Matlab을 이용하여 Time-Domain과 Frequency-Domain의 그래프 작성
(4) 이론과 시뮬레이션의 비교
2. Fourier Transform
(1) Matlab을 이용하여 주기가 없는 구형파 펄스 생성
(2) Matlab을 이용하여 Fourier Transform 프로그램 작성
(3) Matlab을 이용하여 Time-Domain과 Frequency-Domain의 그래프 작성
(4) 이론과 시뮬레이션의 비교
- 퓨리에 시리즈 전개를 하기 위하여 우선 다음과 같은 주기를 가진 파형을 생성한다.
이 그래프는 우선 의 크기만큼 0이란 값을 가진다. 그 후 만큼 1이란 숫자를 가지게 되고 다음은 또 의 크기만큼 0이란 값을 가진다. 또 이후에는 이전과는 다르게 만큼 -1의 값을 가지게 된다. 이렇게 생성된 파형은 한 번의 주기를 가지지 않고 연속적으로 주기를 가지는 주기 함수로 생성이 된다. 따라서 이렇게 생성된 주기함수는 퓨리에 급수 전개를 이용하여 주파수 영역의 해석을 할 수 있게 된다.
따라서 다음과 같은 식을 만들기 위하여 구형파 생성 함수를 생성하였다. 함수 이름은 pulsegnrt로 사용자로부터 t의 값과 샘플링 횟수, , , Amplitude 값을 받아들여 for문을 이용하여 그래프를 생성하도록 하였다. 이렇게 생성된 값 중 ys 값과 t 값만이 반환되어 사용자에게 돌아간다.
다음은 퓨리에 시리즈 전개에 대한 함수이다.
다음 소스는 가 고정값이고 가 변화하였을 때의 프로그램 소스이다.
- 퓨리에 변환은 비주기 함수를 위한 주파수 해석 기법이다. 따라서 기존에 생성된 주기함수를 사용하지 않고 비주기 함수인 Gate Function을 생성하여 퓨리에 변환을 한다. 생성된 Gate Function은 다음과 같다.
다음 함수를 생성하기 위하여 matlab내장 함수인 rectpulse와 zeros를 사용한다.
퓨리에 변환을 하기 위하여 다음의 퓨리에 변환 함수를 사용한다.
따라서 파형을 보기 위한 main 함수는 다음과 같다.
1. Fourier Series
Fourier Series의 결과물은 다음과 같다.
우선적으로 를 고정시키고 를 변화시켜 본다.
이번에는 를 고정시키고 의 값을 변화시켜본다.
우선 가 변화하고 가 고정되어 있을 경우를 보게 되면, 가 증가할수록 주파수스펙트럼은 점점 축으로 몰려 만약 무한대로 커질 경우 DC성분만이 남게 됨을 볼 수 있다. 반대로 가 감소할 경우 주파수 스펙트럼은 전 주파수 영역에서 거의 0 이 됨을 볼 수 있다.
다음으로 가 변화하고 가 고정되어 있을 경우를 보게되면, 가 증가할수록 주파수스펙트럼은 점점 축으로 몰려 만약 무한대로 커질 경우 DC성분만이 남게 됨을 볼 수 있다. 반대로 가 감소할 경우 주파수 스펙트럼은 전 주파수 영역에서 거의 0 이 됨을 볼 수 있다.
이 결과에 따라서 나 값의 변화에 따라 생성되는 주파수 영역의 스펙트럼은 어떻게 변화하는지를 볼 수 있었다.
2. Fourier Transform
Fourier Transform의 결과물은 다음과 같다.
퓨리에 변환의 경우 값만을 변화시켜서 주파수 스펙트럼을 관찰한다.
Gate Function의 경우 값이 증가함에 따라 주파수 스펙트럼이 축에 점점 모이게 되고 값이 증가함에 따라 주파수 스펙트럼이 모든 영역에서 0에 가까워 짐을 알 수 있다. 이는 주기 함수의 퓨리에 시리즈 전개와 비슷한 유형의 결과를 얻었다고 볼 수 있다.
- 퓨리에 시리즈 전개는 주기 함수를 주파수 영역으로 보는 해석 기법이다. 시간 영역에서의 주기 신호는 주파수 영역에서 이산신호로 나타남을 볼 수도 있었다. 그리고 값과 값에 따라 주파수 영역에서의 변화를 직접 눈으로 관찰할 수 있었다. 또한 퓨리에 변환은 비주기 함수를 주파수 영역으로 보는 해석 기법이다. 시간영역에서의 비주기 신호는 주파수 영역에서 연속신호로 나타남을 눈으로 확인할 수 있었다. 이것 또한 에 따라서 주파수 영역에서의 변화는 직접 관찰할 수 있었다.
이번 설계를 하면서 주파수 영역에 대한 새로운 지식을 알 수 있었고 퓨리에 시리즈 전개와 퓨리에 변환에 대한 많은 정보를 습득할 수 있었다. 또한 매트랩 프로그램을 이용하여 설계를 하여 더욱 정확한 값을 얻을 수 있었고, 설계함에 있어서 툴을 이용한 것은 앞으로도 많은 부분에서 도움이 될 수 있을 것이라고 생각한다. 전자공학에 있어서 주파수영역 해석 기법은 절대 떨어질 수 없는 관계이다. 이번 설계를 통하여 많은 것을 배웠으나 아직 부족함을 알고 더욱 주파수 영역 해석 기법에 대한 공부를 하고, 다른 부분에서도 이 해석 기법이 어떻게 작용하는지 알아볼 가치가 있다.

키워드

Fourier,   Series,   Transform,   퓨리에,   푸리에,   변환,   시리즈