매트랩을 이용한 1차방정식, 수치미분, 수치적분 - 각 설명과 예제문제와 풀이.hwp

목차

1. 매트랩을 이용한 1차방정식과 문제, 풀이
2. 매트랩을 이용한 수치미분과 문제, 풀이
3. 매트랩을 이용한 수치적분과 문제, 풀이

본문내용

1. 매트랩을 이용한 1차 방정식
선형대수학 연구 및 교육용 프로그램인 MATLAB은 Matrix Laboratory의 약자로 거의 대부분을 행렬의 이론에 기초를 두고 있다.ATLAST Project는 Augmenting the Teaching of Linear Algebra through the use of Software Tools의 약자로 미국의 Linear Algebra Curriculum Study Group(LACSG)이 National Science Foundation의 지원아래 선형대수학을 행렬의 관점에서 가르치고, 또한 소프트웨어를 사용하여 교육을 개선하기 위하여 생겨났다. 따라서 ATLAST Project 는 이러한 목적을 달성하기 위한 LACSG의 추진 계획이며 1992년부터 1997년까지 450명의 교수들의 참여 속에 선형대수학 입문 강좌에서 다루는 모든 주제를 포함한 포괄적인 컴퓨터 예제들이 MATLAB을 이용하여 개발되었다. 이 Project에 쓰인 컴퓨터 예제들은 ATLAST Computer Exercises for Linear Algebra라는 책에 수록되어 있으며, MATLAB routines의 모임(M-files)도 이 책과 함께 개발되었다. 이 M-file의 대부분은 coordinate system, linear transformation, eigenvalue등의 중요한 선형대수의 개념의 시각적인 삽화를 주기 위해 디자인되었다. 다른 M-file들은 computer animation을 위한 linear transformation의 사용이나 digital imaging을 위한 matrix factorizations 사용과 같은 시각적 응용을 그림으로 설명하고 있다. 또 다른 M-file들은 특별한 구조의 행렬을 만드는데 사용된다.
여러 개의 변수를 가진 곡선의 방정식은 그 변화가 매우 복잡한 양상을 띄고 있기 때문에 곡선의 연립방정식을 해결하는 일반적인 이론은 존재하지 않는다. 그러나 어떠한 곡선이라도 작은 간격으로 끊어 보면 거의 직선으로 간주할 수 있으며 행렬을 이용하여 일차 연립 방정식을 해결하는 훌륭한 이론이 있기 때문에 Linear System은 물리학, 경제학, 통계학 등 다양한 분야에 적용되고 있다. 이 장에서는 아무리 복잡한 Linear System이라 할지라도 쉽고 간편하게 해결해주는 Matlab의 commands를 이용하여 Linear Systems에 관한 다양한 문제 거리들을 해결하기로 한다.
1) 일차 연립 방정식의 중요성과 MATLAB
과 같은 과 같이 자연수의 합에 관한 식이나 자연수의 1에서 N까지의 2제곱수 또는 3제곱수 의 합의 공식은 이미 많은 학생들이 잘 알고 있으며, 자연수의 에서 까지의 ,,제곱수 또는 그이상의 제곱수들의 합에 대해서도 예전의 수학자들에 의해서 연구되어 왔다. 그러나 일반적으로을 구하는 문제는 계산이 복잡하여 수업시간에 소화 하기에는 그리 쉽지 않은 문제이다. 이것을 연립일차방정식과 Matlab 명령어를 이용하여 구한다면 아주 쉬운 문제로 바뀌는 것이다.
따라서 5이므로 5임을 알 수 있다. 이와같은 방법으로 연립일차방정식을 이용하면 일반적인 I, k의 급수를 구할수 있다. 이와같이 단순히 연립일차방정식의 해법도 큰 크기를 다룰 수 있기 때문에 이전에는 시도하지 않았던 수 많은 주위의 문제가 바로 손 앞에 놓인 단순개념의 문제로 바뀌는 것이다.
이번에는 각 row의 합과 각 column 의 합이 같은 정수들로 마방진(magic square)를 구하는 문제를 생각해보자. magic square의 정의는 다양하지만 우리의 경우는 양의 정수만이 아니라 모든 정수를 대상으로 해보고자 한다. 이것도 연립일차방정식을 이용하여 구할 수 있다.
2. MATLAB을 이용한 수치미분
1)_ MATLAB 함수: diff
xi = n개의요소를가지는1차원벡터
yi = n-1 개의요소를가지는1차원벡터
xi 벡터내인접한요소두개값의차이
1차도함수의유한차분근사값을계산하는데 사용된다.
Q. MATLAB 함수 diff를 사용하여 x=0에서0.8까지 다음 함수를 수치미분하라.
f(x)=0.2+25x-200x2+675x3-900x4+400x5
그리고 정해는f'(x)=25-400x+2025x2-3600x3+2000x4이다.
풀이) 먼저f(x)를 무명함수로 나타낸다.
x 벡터내 인접한 요소 두 개값의 차이 를구한다.
도함수의 재차분 근사값을 구한다.
벡터d의 도함수는 각구간의 중점에서의 값이므로 중점에 대한x 값을 구한다.
도함수의 해석값을 구한다.
수치해와 해석해를 그린다.
정확한도 함수값(실선)과 MATLAB의 diff 함수를 사용해서계산한수치결과(원)의비교
2) MATLAB을 이용한 수치미분 (2/3) MATLAB 함
함수 gradient는 차분을 계산하여 반환한다.
그러나반환되는차분은주어진값사이의구간에서보다는, 그값에서의 도함수를 구하게 된다.
만일벡터가등간격으로주어진데이터를나타낸다면, 다음 구문은 간격으로 나누어 계산한 도함수 값을 반환한다.
3. 매트랩을 이용한 수치적분
MATLAB 함수: quad와quadl
quad 함수: 적응식Simpson 구적법을사용하며, 완만하지 않은 함수에 더효율적임
quad1 함수 : Lobatto 구적법을사용하며, 완만한 함수에 더효율적임
Q. 다음 함수를 구간x = 0에서 1 사이에서 적분하기 위하여 quad를 사용하라. 이때 q = 0.3, r =0.9, s =6으로 놓고 구하라. 참고로 정해는 29.85832539549867이다.
1) 풀 이

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