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소개글

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목차

Ⅰ. 수치해석과 통계함수
1. BINOMDIST 함수
2. CHIDIST 함수
3. CHIINV 함수
4. CHITEST 함수
5. CONFIDENCE 함수
6. CORREL 함수

Ⅱ. 수치해석과 수학
1. 수학의 기본 개념
1) 극한(limit)과 연속성(continuity)
2) 도함수
3) 중간값 정리
4) 평균값 정리
5) 적분에 관한 평균값 정리
6) 극값 정리
7) Tayor 정리
2. 진법과 수의 표시
1) 진법
2) 정수의 진법 변환

Ⅲ. 수치해석과 MATLAB(매트랩, 매틀랩)
1. MATLAB의 개요
2. MATLAB의 구성
3. 기본적인 사항들
1) 행렬의 입력 방법
2) 행렬의 원소들
3) 복소수와 복소행렬

Ⅳ. 수치해석과 수치해법
1. 서론
1) 방정식의 근
2) 다항식의 성질
3) 근의 탐색
2. 고정점 반복법(fixed point iteration method)
1) 고정점 반복법
2) 고정 함수의 선택
3) 고정점 반복법 알고리즘
4) 고정점 반복법의 수렴 속도

Ⅴ. 수치해석과 수치해석방법
1. 기본방정식의 유도
2. 경계조건
3. 수치해석 방법

참고문헌

본문내용

R=5.524…
의 실근 → r=1.074…
→ ∴ f(x)=0의 모든 근은 1.074…≤|x|≤5.524… 내에 존재
→ |x|≤5 내에 f(x)=0의 모든 근이 존재
3) 근의 탐색
근의 개수와 실근에 가까운 초기치 설정하여 차례로 근사해 근을 구함
가능한 한 근에 가까운 초기치를 잡는 것이 중요함
(그래프 이용, 근의 존재 구간에 관한 정리 등 이용)
2. 고정점 반복법(fixed point iteration method)
1) 고정점 반복법
f(x)=0을 g(x)=x로 변환 → g(x)를 구하여 의 근사해를 구하는 방법
f(x)=0의 해는 g(x)의 고정점으로서 y=g(x)와 y=x의 두 그래프의 교점의 x좌표
고정함수 g(x)는 여러 가지가 있을 수 있음
초기치 xo와 g(x)의 식의 형태에 따라 수렴성은 달라짐
예)
(1)(2)(3)(4)
정리 : g(x)가 [a, b]에서 연속이고 이면 g(x)는 적어도 하나의 고정점을 가진다.
증명) g(a)=a 또는 g(b)=b이면 a 또는 b가 고정점이다. 그렇지 않은 경우 f(x)=g(x)-x라고 정의하면 가정에 의해 이므로 중간값 정리에 의해 [a, b]에 f(x)=g(x)-x=0인 α가 존재한다.
정리 : g(x)가 [a, b]에서 연속이고 이며 모든 에 대해 을 만족하면 g(x)의 고정점α는 유일하다. → contract mapping
증명) α1, α2를 g(x)의 두 고정점이라 하면
를 만족하는 ξ가 [α1, α2]에 존재(←평균값 정리)
이것은 모순임 ∴α는 유일함
예)(1)
g\'(x)=1-2x → 은 에 수렴 않음
(2)
→ 이 수렴하는지를 판별할 수 없음
(3)
→ 은 에 수렴
(4)(Newton방법)
→ 은 에 수렴
2) 고정 함수의 선택
[a, b]내의 모든 x에 대해 g(x)도 [a, b]에 포함되어야 한다.
g(x)는 [a, b]에서 연속이어야 한다.
g(x)는 [a, b]에서 미분 가능하고 |g\'(x)|≤L<1이어야 한다.
3) 고정점 반복법 알고리즘
ⅰ) 고정함수의 성질을 만족하는 g(x)를 선택한다.
ⅱ) 근사해 을 구한다.
ⅲ) 수렴 판정
n≥N or or
ⅳ) 만족 않으면 xn←xn+1으로 치환하여 ⅱ)부터 반복
4) 고정점 반복법의 수렴 속도
g(x)를 α를 중심으로 Taylor 급수 전개하면
일차 수렴 :
이차 수렴 :
(k+1)차 수렴 :
Ⅴ. 수치해석과 수치해석방법
1. 기본방정식의 유도
열전달 및 유체 유동을 수치해석하기 위한 기본방정식을 수립하는 방법으로는 유동함수-와도방법(Stream Function-Vorticity Method)과 원시변수방법(Primitive Variable Method)의 두 가지로 분류된다. 본 연구에서는 자연대류가 발생하는 임계 부분 및 유동현상이 매우 미세한 관찰을 위해 원시변수방법을 사용하였다. 원시변수방법은 많은 변수와 수렴해를 얻기 위한 반복계산, 그리고 압력항이 속도항과 서로 연관되어 있기 때문에 이에 대한 보정 등을 위해 많은 계산시간이 필요한 반면 해의 정확성을 기할 수 있는 장점을 가지고 있다.
밀폐용기에서의 순수물질에 대한 자연대류를 해석하기 위한 실질적인 물리적 현상을 기술하는 일반적인 기본방정식을 단순화시키기 위하여 유체는 비압축성, 뉴우톤 유체(Newtonian Fluid)이고, 점성소산이 무시되며, 부력항에 온도차에 의한 밀도변화만을 고려한 Boussinesq의 근사를 적용된다고 가정하였다. 위의 가정에 의하여 2차원 정상 연속방정식, 운동방정식 및 에너지 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
(3)
(4-1)
(4-2)
(5)
기본방정식에 대하여 해석의 일반성을 부여하고 시스템을 지배하는 파라미터의 영향을 고찰할 수 있도록 기본방정식의 각 변수에 대하여 다음과 같이 무차원량을 정의하고 무차원하였다.
, , , ,(6)
,
위의 식(6)에서 정의된 무차원량를 식(3)～(5)에 대입하고 정리하여 식(7)～(9)과 같은 무차원 기본방정식을 얻었다.
(7)
(8-1)
(8-2)
(9)
위의 식(7)～(9)의 기본방정식으로부터 무차원 수는 Prandtl수와 Rayleigh수가 본 해석 시스템을 지배하는 무차원수 임을 알 수 있다.
2. 경계조건
해석의 안정성을 부여하기 위하여 초기조건을 해석 영역 내부의 모든 속도는 0으로 하고, 해석영역 내부의 초기 온도를 상하경계면 온도의 평균값를 갖도록 하였다. 경계조건은 직각 밀폐용기의 수직 경계면은 단열이며 수평 경계면에 대하여 하부면은 고온, 상부면은 저온으로 일정한 온도차가 유지되도록 하였다. 그리고 각 벽면에서 점착조건(No-slip condition)을 적용하여 벽면에서의 속도(u, v)를 0으로 하였다. 따라서 무차원화된 경계조건은 다음과 같이 정의된다.
(10)
, ,
3. 수치해석 방법
기본방정식의 이산화(Discretization)
기본방정식을 수치해석하기 위해서는 독립변수의 미분항에 대하여 대수방정식 형태로 변환하여야 하며, 대수방정식으로 변환된 방정식을 이산화방정식이라 한다. 이산화방정식은 격자점 집합에서 독립변수들의 대수적인 관계로 구성되고, 이는 미분형의 방정식과 동일한 물리적 상황을 나타낸다. 식(3)～(5)의 일반적인 이산화방정식은 식(11)과 같다.
(11)
여기서, 나타난 각 계수들은 이산화 방법에 따라 다르며, 본 해석에서는 멱승도식을 적용하여 다음과 같이 각 계수들을 구하고 수치해석하였다.
(12)
식(12)에서 표시된 양들은 식(13)에서와 같고【 】의 표기는 괄호안의 값들 중 최고값을 의미한다.
, , , (13)
, , ,
참고문헌
방성완(2012) : MATLAB으로 배우는 공학 수치해석, 한빛미디어
임성순(2012) : 수치해석 이론과 실습, 구미서관
장현 외 1명(1994) : 새로운 통계함수를 이용한 Blind 적응등화 알고리듬, 대한전자공학회
정상권, 김영희 외1명(2012) : 수치해석, 교우사
Chapra, Canale 저, 신동진 외 2명 역(2011) : 공학도를 위한 수치해석, McGraw-Hill
Steven C. Chapra 저, 손권 외 2명 역(2012) : Chapra의 응용수치해석, 한티미디어

키워드

수치해석,   수치,   통계함수,   수학,   매트랩