게임이론(왕규호,박영사)

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나 경기자 1도 경기자 2는 어떤 게임을 하는지 알고 있다는 사실을 알고 있다.
3) 이 상황을 베이지안 게임으로 표시하라.
경기자 2는 어떤 게임을 하는가를 알고 있으므로, 경기자 2의 타입을 A 또는 B로 표시하자. 경기자 1은 사적 정보를 가지고 있지 못하다. 따라서 이다. 경기자 1과 A 타입간의 보수행렬은 A 게임에, 경기자 1과 B 타입간의 보수행렬은 B 게임에 주어져 있다.
4) 베이지안 게임에서 경기자 2는 몇 개의 순수전략을 가지고 있는가?
경기자 2는 게임 A와 B를 구별할 수 있으므로, (L, L)부터 (R, R)까지의 9가지 전략을 가지고 있다
5) 게임 A와 B에서 R과 M이 각각 경기자 2의 강우월전략임을 보여라.
보수행렬에서 보다시피, 게임 A에서는 R, 게임 B에서는 M이 경기자 2의 강우월전략이다.
6) 베이지안 내쉬균형을 구하라. 2)의 경우와 비교하여, 더 많은 정보를 가짐으로써 경기자 2의 보수가 증가하였는가?
A 타입에게는 R, B 타입에게는 M이 강우월전략이므로 베이지안 내쉬균형에서 경기자 2의 전략은 (R, M)이 되어야 한다. (R, M)에 대해서는 T가 경기자 1의 최적대응이다. 따라서 유일한 내쉬균형은 (T, (R, M))이고, 보수는 (1, 3/2)이다. 따라서 경기자 2의 보수는 감소되었음을 알 수 있다.
7. 두 명으로 구성된 사회에서 다음과 같은 변형된 공공재 비용 제공 문제를 살펴보자. 공공재의 비용은 이다. 공공재가 공급될 때 각 사람이 얻는 혜택을 라고 하자. 공공재가 제공되지 않으면 각 사람의 혜택은 0이다.
각 사람은 자신이 받는 혜택은 알지만 다른 사람의 혜택의 크기는 모른다.
과 는 연속형 확률변수로 독립적으로 결정되고, 구간에서 강증가함수이고 연속인 누적분포함수 에 의하여 결정되고, 를 가정한다. 각 사람의 선택은 전체 비용을 ‘제공’하던가 또는 ‘제공하지 않음’이다. (편의상 0과 사이의 중간 값은 선택할 수 없다고 가정한다.) 적어도 한 사람이 ‘제공’을 선택하면 공공재는 공급되고, 이 때 ‘제공’을 선택한 사람의 보수는 , ‘제공하지 않음’을 선택한 사람의 보수는 이다.
1) 현재의 상황을 베이지안 게임으로 표시하라.
각 경기자의 타입집합은 , 행동집합은 = {제공, 제공하지 않음}이다. 두 타입이 독립이므로 이다. 여기서 는 의 확률밀도함수이다. 즉 이다.
, , , ,
, , .
한 사람이 전액 비용을 부담하고, 다른 사람은 무임승차하는 베이지안 내쉬균형을 생각해보자. 구체적으로 경기자 1은 이면 ‘제공’, 이면 ‘제공하지 않음’, 경기자 2는 모든 타입이 항상 ‘제공하지 않음’을 선택하는 것이 베이지안 내쉬균형일 조건을 생각해보자.
2) 경기자 2의 전략에 대하여 경기자 1의 전략이 최적대응임을 보여라.
경기자 2는 모든 타입이 항상 ‘제공하지 않음’을 선택하므로, 모든 에 대해서 이 ‘제공’을 선택하면 , ‘제공하지 않음’을 선택하면 0을 얻는다. 따라서 이면 ‘제공’, 이면 ‘제공하지 않음’을 선택하는 것이 경기자 1의 최적대응이다.
3) 경기자 1의 전략에 대하여, 경기자 2의 타입이 각각 ‘제공’과 ‘제공하지 않음’을 선택하였을 때의 기대보수를 계산하라.
경기자 1이 이면 ‘제공’을, 이면 ‘제공하지 않음’을 선택하므로 경기자 1이 ‘제공’을 선택할 확률은 , ‘제공하지 않음’을 선택할 확률은 이다. 경기자 2의 타입이 각각 ‘제공’을 선택하면 경기자 1의 선택과 무관하게 를 얻는다. 반면에 ‘제공하지 않음’을 선택하면 의 확률로 , 의 확률로 0을 얻는다. 따라서 기대보수는 이다.
4) 위의 전략프로필이 베이지안 내쉬균형이 될 조건을 구하라.
경기자 2의 모든 타입이 ‘제공하지 않음’을 선택하려면 ‘제공하지 않음’을 선택하였을 때의 보수가 ‘제공’을 선택하였을 때의 보수보다 작지 않아야 한다. 따라서 에 속한 모든 에 대해서 , 즉 가 성립하여야 한다. 는 에 대해서 증가함수이므로 모든 에 대해서 이 성립할 조건은 가 성립할 조건과 동일하다. 그러므로 위의 전략프로필이 베이지안 내쉬균형이 될 조건은 이다.
이제 두 사람이 다음과 같이 동일한 전략을 선택하는 대칭적인 베이지안 내쉬균형을 생각해보자. 이면 ‘제공하지 않음’, 이면 ‘제공’.
5) 경기자 1의 전략에 대하여, 경기자 2의 타입이 각각 ‘제공’과 ‘제공하지 않음’을 선택하였을 때의 기대보수를 계산하라.
경기자 1이 위의 전략을 선택할 때 경기자 2의 입장에서 ‘제공’이 선택될 확률은 , ‘제공하지 않음’을 선택할 확률은
이다. 경기자 2의 타입이 각각 ‘제공’을 선택하면 경기자 1의 선택과 무관하게 를 얻는다. 반면에 ‘제공하지 않음’을 선택하면 의 확률로 , 의 확률로 0을 얻는다. 따라서 기대보수는 이다.
6) 는 에 의하여 결정됨을 보여라. 가 [0, 1] 사이의 균일분포일 경우 를 계산하라.
타입은 ‘제공’을 선택하는 것과 ‘제공하지 않음’을 선택하는 것과 무차별하여야 한다. 따라서 , 즉 를 만족하여야 한다. 가 [0, 1] 사이의 균일분포일 경우 이다. 따라서 에 의해서 가 된다.
7) 임을 보여라. 따라서 대칭인 베이지안 균형이 효율적이지 못함을 설명하라.
이고 가 0과 1 사이이므로 이다. 적어도 한 사람의 가치가 c보다 큰 경우에는 공공재가 제공되는 것이 효율적이다. 그러나 , 가 모든 와 사이에 있을 경우, 두 사람 모두 ‘제공하지 않음’을 선택하므로 대칭인 베이지안 내쉬균형은 효율적이지 못하다.
8) n명의 경우 는 에 의하여 결정됨을 보여라.
각 사람이 ‘제공’을 선택할 확률은 , ‘제공하지 않음’을 선택할 확률은 이다. 대칭이므로 경기자 1의 입장에서 보자. 타입이 각각 ‘제공’을 선택하면 다른 경기자의 선택과 무관하게 를 얻는다. 반면에 ‘제공하지 않음’을 선택하면 다른 모든 경기자가 ‘제공하지 않음’을 선택할 경우 0을 얻는데, 그 확률은 이다. 적어도 한 사람이 ‘제공’을 선택할 확률은 이고, 이 때 을 얻는다. 기대보수는 이다.
타입은 ‘제공’을 선택하는 것과 ‘제공하지 않음’을 선택하는 것과 무차별하여야 한다. 따라서 , 즉 를 만족하여야 한다.

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게임,   왕규호,   게임이론