rc교류회로,전기공학 실험 사전보고서

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목차

1. 실험 제목
2. 실험 목적
3. 실험 기구
4. 실험 방법
5. 관련 이론

본문내용

tially) 감소한다고 하고, VC는 지수함수적으로 증가한다고 한다. 어떤 양이 지수함수적으로 감소할때, 최초값의 = 0.37이 되는데 걸리는 시간을 시상수(time constant)라 한다. 식 (8)에서의 시상수 τ는 로부터
τ = RC(10)
가 된다. 지수함수적으로 증가할 때는 최종값의 (1-) = 0.63이 될 때까지의 시간을 시상수라 하는데, RC 회로의 시상수는 전압이 증가하거나 감소할 때 모두 RC이다.
그림 2. RC 회로에서의 저항 양단과 capacitor 양단의 전압의 변화
시간이 충분히 지나면 capacitor는 완전히 충전이 되고, 이 때 식 (9)에 따라 VC = V가 된다. 이 때 그림 1의 스위치를 B로 돌려 전원 전압이 0이 되도록 해 보자. Kirchhoff의 법칙을 적용하면, 식 (1)에서는 V가 0으로 바뀌고,
,(11)
식 (2)-(5)는 같아진다. 스위치를 B로 돌리는 순간을 다시 시간 t = 0으로 하면, 이 때 q = CV 이고 식 (11)에 의해 i = -V/R 이 된다. 여기서 - 부호는 전류가 충전할 때와 반대 방향으로 흐르는 것을 의미한다. 따라서
,(12)
,(13)
(14)
가 되어 VR과 VC 모두 지수함수적으로 감소한다.
(2) 고주파 통과 필터 및 저주파 통과 필터
이번에는 그림 3에서처럼 RC 회로에 교류 전원를 연결하자. Kirchhoff의 법칙을 적용하면
(15)
가 되고, 이를 한번 미분하면
(16)
가 된다. 이 회로에 흐르는 전류를
(17)
라 가정하고, 식 (16)에 대입하면
(18)
가 된다. 덧셈공식을 사용하여 삼각함수를 전개한 후, 양변에서 와 의 계수를 같게 놓으면,
,(19)
(20)
을 얻는다. 이 식을 연립하여 풀면
,(21)
(22)
를 얻는다. 이를 식 (17)에 대입하면, 구하고자 했던 전류는
, (23)
로 주어진다.
그림 3. 교류전원이 연결된 RC 회로
이 때 저항과 capacitor 양단의 전압은 각각
,(24)
(25)
가 된다. 입력전압 에 대한 의 rms 값과 의 rms 값의 비를 구하면
(26)
과
(27)
이 된다. VR/V = (이 때 저항에서 소모하는 전력은, 전원을 저항에 직접 연결하였을 때 저항에서 소모하는 전력의 1/2이 된다.)이 되는 half-power frequency fo는 로부터
(28)
로 주어진다. 이 half-power frequency에서는 VC/V 도 이 돤다. 식 (26)과 (27)을 f/fo의 함수로 그리되, log-log scale로 그리면 그림 4의 (a), (b)와 같아진다.
그림 4. (a) 고주파 통과 필터에서의 VR/V와 (b) 저주파 통과 필터에서의 VC/V
그림 4 (a)에서 V를 입력신호, VR을 출력신호로 생각하자. 만약 입력 신호에 주파수가 다른 여러 신호가 들어오면 주파수가 fo보다 작은 신호는 상당히 작아져서 출력에 전달되는 한편, 주파수가 큰 신호는 거의 크기가 줄지 않고 출력에 나타나게 된다. 따라서 저항 양단에서 출력을 뽑을 때의 RC 회로는, 입력에 걸린 신호들 중 주파수가 높은 신호들만을 선별적으로 출력에 나타나게 하는 기능을 하는데, 이를 고주파 통과 필터(high-pass filter)라 한다. 같은 RC 회로에서 capacitor를 출력 단자로 사용하면 그림 4 (b)에서 보듯이 저주파 통과 필터(low-pass filter)의 역할을 하게 된다.
복소수 impedance의 개념을 사용하면 RC 필터를 더욱 간략하게 이해할 수 있다. 즉 RC 회로는 ZR = R과 ZR = 1/jωC 인 두 복소수 impedance가 입력 복소수 전압 V를 나누어 갖는 voltage divider 회로로 생각할 수 있다. 따라서 저항 양단의 복소수 전압 VR과 VC는 각각
,(29)
(30)
가 된다. 이 식들의 절대값을 취하면, 식 (26)과 식 (27)이 된다.
(3) 미분 회로와 적분 회로
RC 필터에서 인 경우를 생각해 보자. 식 (23)에서 이 되고, 식 (24)의 vR은
(31)
이 되어 입력신호의 미분신호에 비례하게 된다. 비례상수 RC는 시간의 차원을 가지고 있으므로 식 (31)의 양변은 모두 전압의 차원을 갖게 된다. 이처럼 인 경우의 고주파 통과 필터(저항 양단이 출력이 되는 경우)는 미분회로가 되게 된다.
또한 의 경우에는, 식 (23)에서 이 되고, 식 (25)의 vC는
(32)
가 되어 입력신호의 적분에 비례하게 된다. 이처럼 인 경우의 저주파 통과 필터(capacitor 양단이 출력이 되는 경우)는 적분회로가 되게 된다.
(4) 구형파(square wave)가 RC 회로에 입력된 경우
그림 5에서처럼 RC 회로에 구형파가 입력된 경우를 생각해보자. 이 경우에는 구형파의 주기 T와 RC 회로의 시상수 τ의 상대적인 크기에 따라 여러 가지 파형이 나타날 수 있다. 그림 6에는 몇가지 T/τ의 값에 대해 저항 양단의 파형과 capacitor 양단의 파형을 보여주고 있다.
그림 5. 구형파가 입력된 RC 회로
그림 6. T/τ의 값에 따른 (a) vR과 (b) vC의 파형 변화
구형파는 그림 1의 회로에서 스위치가 A와 B의 위치를 주기적으로 왔다 갔다 한 것으로 이해할 수 있으므로, 그림 6 (a)의 저항 양단의 파형은 스위치가 바뀔 때마다 식 (8)과 식 (13)에 의해 지수함수적으로 감소하는 것을 이해할 수 있다. τ가 T보다 훨씬 작을 때는 vR은 capacitor가 완전히 방전/충전된 상태인 V/-V에서 구형파의 반주기보다 빨리 0으로 간다. (그림 6 (a)의 위 그림) 한편 τ가 T보다 크면 조금만 충전되거나 방전된 상태에서 스위치가 옮겨가기 때문에 약간 가울어진 구형파의 모양이 되고 최고 전압도 V/-V보다 작아지게 된다. (그림 6 (a)의 아래 그림) 이러한 반응은 고주파 통과 필터의 개념을 사용해서도 이해할 수 있다. 즉 일 때 즉 일 때는, vR은 입력 구형파의 미분신호 즉 spike 형태의 파형이 된다.
Capacitor 양단의 전압 vC는 입력전압에서 vR을 뺀 것으로 이해할 수 있다. 특히 일 때 즉 일 때는, vC는 입력 구형파의 적분신호가 된다.

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