편미분방정식 Modeling(Navier-stokes)

소개글

편미분방정식 Modeling(Navier-stokes)에 대한 보고서 자료입니다.

목차

1. 이론적 배경
2. Navier-Stokes equations modeling
3. 편미분방정식 풀이(in detail) & 경계조건 and/or 초기조건 설정
4. 해에 대한 공학적 해석

본문내용

정상유동으로 흘러 내려가고 있다. 이 유동장의 모형에 맞게 연속방정식과 Navier-Stokes 방정식을
단순화 하여라. 또한 액체의 속도분포에 대한 식을 구하여라. 수평과 경사진 폭 b=1m인 표면 위를 막 두께 h=1mm로 물은 유동한다.
이 문제를 풀기 위해 비압축성이고 점성계수가 일정한 유동에 대한 지배 방정식을 세우면
기본방정식을 간단하게 줄이기 위해 초기조건을 세우면
가정
1.정상유동(주어진 조건)
>> 유체성질의 시간에 따른 변화를 소거한다.
2.비압축성 유동,=일정
>> 밀도의 공간에 따른 변화를 소거한다.
3.z방향으로 유동이나 성질의 변화가 없다. w=0
>> 속도의 z성분이 없고, z방향의 성질 변화도 없다는 것을 나타낸다. 즉, Navier-Stokes 방정식의 모든 z성분들이 지워진다.
4.완전 발달된 유동이므로, x방향으로 성질의 변화가 없다
>> 연속방정식은 , 그러므로 v는 일정해야 한다. 또한 v는 고체 표면에서는 0이 되어야 하기 때문에, 결과적으로 모든 곳에서 0이 되어야 한다.
위와 같이 편미분방정식을 풀기위한 여러 가지 초기조건들을 설정할수 있다.
그 결과 지배방정식에 초기조건을 대입해서 얻은 식들은
(가정3)과 (가정4)에 의해 u는 y만의 함수가 되므로,
이 된다.
그러므로 식(1)은 가 된다.
이 식을 적분하면 이 되고
이 식을 또 적분하면 가 된다.
상수값 를 구하기 위해서 필요한 경계조건을 대입하자!
경계조건
1.고체 표면에서의 점착조건(y=0에서 u=0)
2.액체 자유표면에서의 전단응력이 0인 조건()
두 개의 경계조건을 대입하면, 첫 번째 경계조건으로부터 이 되어서
두 번째 경계조건을 대입하면. 가 되어서
최종적으로 다음과 같은 속도 분포가 얻어진다.
위에서 구한 속도 분포를 바탕으로 결과 그래프를 그려보자!
수막의 두께를 1mm로 설정하고, y의 범위를 y=[0:0,0001:0.001];로 설정한 뒤 다음과 같이 matlab 프로그램을 통해 해를 작도하면, y값이 증가함에 따라 속도는 증가하는 결과 그래프를 구할 수 있었다.
해에 대한 공학적 해석
이 문제에 대해서 해에 대한 공학적 해석을 하면, 경사진 평면을 흘러 내려가는 완전 발달된 층류운동의 해석을 Navier-Stokes 방정식을 통해 u,v,w,p를 구하기 위한 네 개의 편미분 방정식을 세웠으며, 초기 조건을 활용하여 기본방정식을 간단하게 줄였으며, 단순화된 식들을 적분을 한 후에 경계조건을 활용하여 최종해를 구하는데 사용하였다.
그리고 Navier-Stokes 방정식을 통해 구한 속도장을 바탕으로, 이 문제에서는 전단응력, 체적유량과 같은 다른 유용한 결과값들을 구할 수 있을 것이다. 그러므로 Navier-Stokes 방정식을 활용해서 초기조건과 경계조건을 잘 적용하여, 속도장을 구하는 것이 가장 중요한 문제라고 볼 수 있다.
전단응력 분포는 으로 놓은 뒤에, 1차원 유동에 대한 식으로부터
식과 같이 전단응력 분포를 구할 수 있고, 유체에서 전단응력은 벽(y=0)에서 최댓값에 도달하고, 자유표면인 (y=h)에서 0인 것을 구할 수 있다.
또한 체적 유량은 (b는 z방향으로의 표면 폭)으로 나타낼수 있다.
체적유량을 구하기 위해서 위해서 구한 속도장을 대입하면
=
그러므로 이다,
구한 체적유량을 바탕으로 평균 유동속도를 구해보면
이므로
이다.
마지막으로 위에서 구한 평균 유동속도를 바탕으로 액막 두께를 구할 수 있는데
액막 두께를 구하면
이다.
또한 추가적으로 Navier-Stokes 방정식은 밀도와 점성계수가 일정한 경우, 초기조건과 경계조건을 잘 설정하면, 원통 좌표계에서도 Navier-Stokes 방정식을 적용할 수 있다.

키워드

편미분방정식,   나비에스톡스방정식,   Navier-Stokes