전기 퍼텐셜 에너지

소개글

전기 퍼텐셜 에너지에 대한 보고서 자료입니다.

목차

1. 전기 퍼텐셜의 정의
2. 전기 퍼텐셜의 변화
3. 등퍼텐셜면과 전기장
4. 전기장에서의 퍼텐셜
5. 점전하에 의한 퍼텐셜
6. 전기쌍극자가 만드는 퍼텐셜
7. 연속적인 전자 분포가 만드는 퍼텐셜
8. 대전된 원판이 만드는 퍼텐셜
9. 퍼텐셜에서 전기장 구하기
10. 두 대전입자 사이의 전기 퍼텐셜 에너지

본문내용

를 라고 하자.
식을 자세히 나타내자.
여기서 전기장 의 방향은 고정된 입자로부터 바깥으로 지름방향으로 따라서 이 경로를 따르는 시험전하의 미소 변위 의 방향도 같으므로 의 값을 갖는다.
그리고 시험전하의 무한대의 위치에서 전기장의 크기는 0, 초기 위치에서 전기장의 크기는 라고 놓을 수 있다.
그리고 시험전하 위치에서 전기장의 크기는 아래와 같이 나타낼 수 있다.
식에 식을 대입하자.
그리고 대전입자 무리가 만드는 알짜 전기퍼텐셜은 중첩원리를 이용하여 구할 수 있다. 주어진 지점에 각 전하가 만드는 퍼텐셜을 계산한 다음, 이 퍼텐셜을 모두 더하면 전체 알짜 퍼텐셜을 구할 수 있다.
여기서 는 번째 전하의 전하량이며 는 번째 전하에서 주어진 점까지의 거리이다. 식의 합은 대수적 합이며, 점전하 무리가 만드는 전기장을 계산할 때와 같은 벡터합이 아니다.
6. 전기쌍극자가 만드는 퍼텐셜
[그림 1]에서 점 에 대한 퍼텐셜을 구해보자. 점 에서 거리 에 있는 양전하는 퍼텐셜 를 만들고 거리 에 있는 음전하는 퍼텐셜 를 만든다. 점 에서의 전체 퍼텐셜은 아래와 같이 나타낼 수 있다.
자연계에서 나타나는 많은 분자가 갖는 쌍극자 크기는 매우 작다. 여기서 우리는 인 점에 대해 고려하도록 하자. 여기서 는 두 쌍극자 전하 사이의 거리이며 은 쌍극자의 중점으로부터 까지의 거리이다. 우리는 (+)전하와 (-)전하에서 를 잇
는 두 선분은 평행하다고 가정할 수 있다. 점 가 쌍극자로부터 무한대의 거리에 있다고 할 때 말이다.
그리고 와 를 거의 같은 거리인 로 놓자.
식에 식과 식을 대입하자.
여기서 전기 쌍극자모멘트의 식은 아래와 같이 나타낸다.
즉, 는 아래와 같이 나타낼 수 있다.
극성이 없는 분자들이나 원자들은 양전하와 음전하의 중심이 일치하여 쌍극자모멘트가 형성되지 않는다. 그러나 원자나 극성이 없는 분자를 외부 전기장에 놓으면 전기장이 전자궤도를 변형시켜 양전하와 음전하의 중심을 갈라놓는다. 전자는 음전하를 갖기 때문에 외부 전기장의 방향과 반대 방향으로 이동한다. 이러한 변형으로 쌍극자모멘트인 가 형성되며 는 전기장의 방향을 가리킨다. 이때 전기장에 의하여 쌍극자모멘트가 유도되었다고 말하며, 원자나 분자는 전기장에 의해 편극되었다고 본다. 하지만, 전기장을 없애면 유도된 쌍극자모멘트와 편극은 사라진다.
7. 연속적인 전자 분포가 만드는 퍼텐셜
전하분포 가 연속적이라면 점 에서 퍼텐셜 를 구할 때 의 식이 이용될 수 없다. 그 대신 어떤 점 에서 퍼텐셜 를 구하기 위해서는 전하분포의 미분요소 를 선택하고 가 점 에 만드는 퍼텐셜 를 결정한 다음, 연속적인 전하분포에 대해 적분을 해야 한다. 이때 가 점 에 만드는 퍼텐셜 는 다음과 같이 쓸 수 있다.
여기서 은 와 사이의 거리이다. 점 에서 전체 퍼텐셜 를 구하기 위해서는 다음과 같이 퍼텐셜 를 모든 전하요소가 만드는 퍼텐셜을 더하기 위해 적분해야 한다.
[그림 2]에서 보는 것처럼 길이가 이고 균일한 선전하밀도 의 양전하를 가진 얇은 부도체 막대가 있다고 하자. 그리고 막대의 미분요소 를 생각하자.
그리고 이 전하 요소는 거리가 떨어진 점 에 전기퍼텐셜 를 만든다.
막대의 전하는 양이고 무한대에서 이다. 막대가 점 에 만드는 전체 전기퍼텐셜 는 식을 에서 까지 막대를 따라 적분하여 아래와 같은 식을 얻을 수 있다.
8. 대전된 원판이 만드는 퍼텐셜
전하가 면전하밀도 로 한 면에 균일하게 분포된 반지름이 인 플라스틱 원판의 축 위 한 점에서 퍼텐셜 의 값을 구하도록 하자. 원판 위의 전하분포가 원형이므로 각 와 지름 거리 을 사용한 미분요소로부터 시작할 수 있다. [그림 3]에서 보는 바와 같이 반지름이 이고 두께가 인 원형 고리로 이루어진 미분요소를 고려하도록 하자.
여기서 은 고리 윗면의 표면적이다. 미분요소의 모든 부분은 원판의 중심축 위의 점 에서 같은 거리인 만큼 떨어져 있다. 이때 원형 고리가 점 에 만드는 전기퍼텐셜은 다음과 같다.
식을 에서 까지 적분하면 아래와 같다.
여기서 라는 적분 공식이 사용되었다.
9. 퍼텐셜에서 전기장 구하기
[그림 4]에서 촘촘하게 배열된 여러 등퍼텐셜면의 단면이 있다. 인접한 두 면 사이의 퍼텐셜차이는 이다. 또한 오른쪽 [그림 4]에서 알 수 있듯이 임의의 점 에서 전기장 는 를 지나는 등퍼텐셜면에 수직이다. 양의 시험전하 가 한 등퍼텐셜면에서 인접한 등퍼텐셜면으로 미소변위 만큼 움직였다고 하자. 그리고 이동과정에서 전기장이 시험전하에 한 일이 라는 것을 알 수 있다. 그리고 오른쪽 [그림 4]에서 보는 바와 같이 전기장이 한 일은 와 의 두 스칼라 곱으로 나타낼 수 있다.
식을 스칼라식으로 바꾸면 다음과 같다.
이때 로 놓고 식을 에 관한 식으로 나타내면 아래와 같다.
그리고 에 관한 식을 편미분 기호를 사용하자. 축을 , , 성분으로 나누어 임의의 점에서 의 성분을 표현하면 아래와 같다.
10. 두 대전입자 사이의 전기 퍼텐셜 에너지
무한이 멀리 떨어져 있는 두 개의 대전입자를 이동시켜서 마지막에 서로 가까이 정지해 있도록 만들 때 외부적으로 해야 하는 일의 양을 조사해보도록 하자. 만일 두 입자의 부호가 같다면 두 입자 사이에 척력이 작용하며 서로 밀어낼 것이다. 이때 한 일의 양은 양수이며 최종 두 입자 계에 대해 양의 퍼텐셜 에너지를 갖게 할 것이다. 반대로 두 입자의 부호가 다를 경우, 두 입자 사이에는 인력이 작용하고 한 일의 양은 음수이며 계에 음의 퍼텐셜 에너지를 준다. 두 입자의 거리가 만큼 떨어져 있다고 가정하자. 먼 곳에 떨어진 한 입자를 다른 입자로부터 만큼 떨어진 위치로 옮겼을 때 계의 퍼텐셜 에너지 변화는 아래와 같이 나타낼 수 있다.
초기 퍼텐셜 에너지를 0이라고 가정하자. 식에서 그리고 초기 퍼텐셜인 , 최종 위치의 퍼텐셜인 라고 놓자.
식은 아래와 같이 나타낼 수 있다.
식에 식을 대입하자. 여기서 의 식을 만족하므로, 의 식이 만족한다.
식이 의미하는 것은 이렇다. 입자 2를 무한대 거리에 놓고 시작하여 입자 1로부터의 거리 로 가져왔을 때 형성되는 퍼텐셜 에너지라는 것을 의미한다.

키워드

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