학적기초와 오차분석

목차

1 수학의 기본 개념

2 진법과 수의 표시

3 오 차

본문내용

-x)_T = 1.00005016708417~~~ (e^x -x)_A = 1.000050167
→ 10개의 유효숫자
(e^x -x -1)_A = 0.000050167
→ 5개의 유효숫자 ∴ 5개의 유효숫자 상실
({e^x -x -1} over x^2})_A = 0.5016700000
→ 오차 발생
f(x) = {e^x -x-1} over x^2 = 1 over 2! + x over 3! + x^2 over 4! + x^3 over 5! + x^4 over 6! + x^5 over 7! + x^6 over 8! e^xi
|x|≤0.1이므로
LEFT | x^6 over 8! e^xi RIGHT | <= (0.1)^6 over 8! e^0.1 ≒ 2.7410 TIMES 10^-11
→ P5(x)로 소수 10자리까지 정확히 구할 수 있음
P_5 (0.01) = 0.5016708417
◎ 오차의 전파
◆ 덧셈(뺄셈)
x_T ± y_T = (x_A + epsilon _x )±(y_A + epsilon _y ) = (x_A ± y_A )+( epsilon _x ± epsilon _y )
오차
epsilon _x±y = epsilon _x ± epsilon _y
상대오차
r_x±y = epsilon _x±y over {x_T ±y_T } = x_T over {x_T ±y_T } epsilon_x over x_T ± y_T over {x_T ±y_T } epsilon_y over y_T = x_T over {x_T ±y_T } r_x ± y_T over {x_T ±y_T } r_y
◆ 곱셈
x_T · y_T = (x_A + epsilon _x )(y_A + epsilon _y ) = (x_A · y_A ) +( epsilon _x · epsilon _y + x_A · epsilon _y + y_A ·epsilon _x )
오차
epsilon _x·y = epsilon _x · epsilon _y + x_A · epsilon _y + y_A ·epsilon _x
상대오차
r_x·y &= {x_T · y_T -x_A ·y_A }over {x_T ·y_T } = { x_T ·y_T - (x_T - epsilon_x )·(y_T - epsilon _y ) } over {x_T ·y_T }#
&= {x_T · epsilon_y + y_T ·epsilon_x - epsilon_x · epsilon _y } over {x_T ·y_T } = epsilon_y over y_T + epsilon_y over y_T - epsilon_x over x_T epsilon_y over y_T = r_x + r_y -r_x ·r_y
◆ 나눗셈
x_T over y_T = {x_A + epsilon _x} over { y_A + epsilon _y}
오차
epsilon _{x / y} = x_T over y_T - {x_T - epsilon _x} over { y_T - epsilon _y} = {y_T epsilon_x -x_T epsilon_y } over { y_T (y_T - epsilon _y )}
상대오차
r_x/y = {LEFT ( x_T over y_T - x_A over y_A RIGHT )} over{x_T over y_T} = {y_T epsilon _x - x_T epsilon _y } over {x_T (y_T - epsilon _y )}={ epsilon_x over x_T - epsilon_y over y_T} over {1- epsilon_y over y_T } = {r_x -r_y } over {1-r_y }
예)
&x_T = pi = 3.1415926 ,~~~ x_A = 22/7 = 3.142587 #
&y_T = 0.003525 ,~~~~~~~~y_A = 0.003514
r_x = {pi - 22/7} over pi = -0.000402,~~~r_y = {0.003525 - 0.003514} over {0.003525 }=0.003120
r_x·y = {x_T · y_T -x_A ·y_A }over {x_T ·y_T } = r_x + r_y -r_x ·r_y = 0.002719
→
r_x·y ~≒~ r_x + r_y = 0.002718
r_x/y = {LEFT ( x_T over y_T - x_A over y_A RIGHT )} over{x_T over y_T}= {r_x -r_y } over {1-r_y } = 0.003533
→
r_x/y = r_x -r_y = 0.003522
◆ 함수 f(x)
평균값 정리에 의해
f(x_T ) -f(x_A ) = f~ '(xi)(x_T -x_A )
인 ξ가
x_T 와~ x_A
사이에 존재함
x_T 와~ x_A
가 매우 가까우면
f(x_T ) -f(x_A ) ≒ f~ '(x_T )(x_T -x_A ) ≒ f~ '(x_A )(x_T -x_A )
∴ 상대오차
r_f = {f(x_T ) -f(x_A )} over {f(x_T )} ≒ {f~ '(x_T )(x_T -x_A ) } over {f(x_T )} = {f~'(x_T )}over {f(x_T )}x_T r_x
예)
f(x) = INT _{ 0}^{x } {y^2 e^-y } over {1+y^4} dy,~~~x_T =1.01~"&"~x_A =1
인 경우
f(x_T ) -f(x_A )
의 근사값은?
f(x_T ) -f(x_A ) ≒ f~ '(x_T )(x_T -x_A ) = {x_T^2 e^-x_T } over {1+x_T^4} (x_T -x_A ) = 1.7849×10^-3
◎ 수치 계산시 오차 감소 방법
-- 유효숫자 많도록 변수의 기억장소를 넓힘(배정밀도 사용)
-- 절대값이 큰 수로 곱하거나 절대값이 작은 수로 나누는 것을 조심(overflow)
-- 절대값이 작은 수로 곱하거나 절대값이 큰 수로 나누는 것을 조심(underflow)
-- 비교적 차이가 큰 수끼리 더하거나 빼는 것을 조심
-- 덧셈은 절대치가 작은 수부터 계산
-- 절대치가 비슷한 두수의 뺄셈에 주의
-- 가급적 연산 횟수가 작은 식을 고안하여 사용 & 연산의 순서를 잘 조정

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학적기초,   오차분석,   수학의 기본 개념,   진법과 수의 표시,   오 차,   진법