수학교육의 목적은 무엇인가

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보여줌으로써, 언제 삼각형 ABP의 넓이가 최대가 되는지 살펴보고 확인할 수 있다. 그리고 이는 선분 AB를 삼각형의 밑변으로 본다면, 높이가 최대일 때 넓이가 최대이므로, 점 P가 y축 위에 있을 때 즉 높이가 3일 때 삼각형의 넓이가 최대가 된다는 사실과 일치함을 확인해볼 수도 있을 것이다.
ABP의 넓이=
마지막으로 다음과 같은 문제를 생각해보자.
[문제]임의의 삼각형 ABC의 내부에 임의의 점 P가 있을 때,
rmBAR PA + BAR PB + BAR PC
의 값이 최소가 되게 하는 점 P를 결정하라.(이 때, 점 P를 페르마의 점(Ferma Point)라 한다.)
이 문제를 해결하도록 하기 위해, 먼저 삼각형 ABC 내부의 점 P를 임의로 움직여가면서,
rmBAR PA + BAR PB + BAR PC
의 값을 관찰하도록 한다. 또한 점 B를 중심으로 삼각형 ABP를 60도 회전변환하여 최소값을 어떻게 구할 수 있을지 탐구해보도록 한다. 점 B를 중심으로 삼각형 ABP를 60도 회전변환하면 회전변환의 성질에 의해 삼각형 ABP와 삼각형 A´BP´은 합동임을 알 수 있으며, 따라서 선분 BP의 길이는 선분 BP´의 길이와 같고 선분 AP의 길이는 선분 A´P´의 길이와 같다. 또한 삼각형 PBP´는 정삼각형이므로, 선분 BP의 길이는 PP´의 길이와도 같다. 따라서 위의 결과를 이용하면
rmBAR PA + BAR PB + BAR PC
은
rmBAR {A´ P´} + BAR P´P + BAR PC
와 같다. 만약
rmBAR {A´ P´} + BAR P´P + BAR PC
=
BAR AC
를 만족하는 점 P가 존재한다면 이 때 바로
rmBAR PA + BAR PB + BAR PC
값이 최소가 된다. 그런데 과연 이러한 점 P가 존재할 것인가? 이는 점 P를 마우스로 움직여볼 수 있도록 함으로써 그러한 점 P가 존재한다는 것을 직접 확인할 수 있다.
이처럼 DGS 환경을 이용하면 학생들이 자기 주도적으로 직접 조작하고 탐구하면서 수학적 지식을 받아들이고, 또한 문제를 해결하기 위해 미리 예측해보고 예측한 사실이 맞는지 틀리는지 쉽게 확인해 볼 수도 있다. 그러나 이러한 교육 및 학습이 자연스럽고 효과적으로 이루어지기 위해서는, 주어진 문제를 얼마나 잘 구성하여 학생들에게 제공하느냐가 무척 중요할 것이다. 따라서 어떤 문제를 어떤 방식으로 재구성하느냐에 대한 충분한 고민이 이루어져야 할 것이다.

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