대수학의 역사 수업에서 활용 실제

목차

1. 대수학의 역사

2. 수업에서 활용의 실제

본문내용

은 시작조차도 할 수 없다는 것이다. 또한 만약 시간을 더 이상 쪼갤 수 없는 아주 짧은 순간들로 이루어져 있다면 움직이는 화살은 정지해 있다는 것이다. 아킬레스는 거북이를 앞지르지 못한다. 왜냐하면 그가 우선 앞서 있는 거북이의 출발 지점에 도달하지만 그 때 거북은 제2의 지점으로 전진하였고 그가 또 그 지점에 도달하면 거북은 이미 제3의 지점에 도달해 있기 때문이다. 이런 일이 한없이 되풀이됨으로 아킬레스는 거북을 앞지르지 못한다는 것 등이 있다. 아리스토텔레스는 무한은 현실적이거나 완결된 것이 아니고 잠재적(potential)으로 존재한다고 했다. 잠재적 무한이란 자연수열과 같이 언제까지나 계속 나아가는 무한이다. 그후 무한은 신의 속성으로 취급되어 중세에는 신학과 결부되었다. 갈릴레오는 자연수와 자연수의 일부인 제곱수와 일대일 대응한다는 것을 알고 전체와 부분이 같다는 역리를 발견하였다[7]. 이러한 역리는 칸토어가 창안한 실(actual)무한이 나온 후에야 해결되었다. 실무한은 완성된 형태로 현실적인 무한이다. 따라서 무한을 집합으로 전체를 묶어서 유한처럼 취급할 수 있게된다. 가우스와 코시 등 수학자들은 무한수열, 실수집합, 자연수의 집합 등과 같은 무한집합을 가지고 연구하였음에도 불구하고 그들은 실무한을 부정하였다. 완성된 실무한 집합들이 존재한다고 가정한다면 그 뒤에 숨어 있는 골치 아픈 문제들이 있었다. 그러나 결국 해석학에 엄밀성을 주는 문제에 직면했을 때 실무한은 더 이상 무시하거나 부정할 수 없게되었다. 볼차노(Bolzanno)는 <무한의 역설, 1851>에서 무한집합의 실제적인 존재를 받아드려야 한다고 했으나 이것은 철학적 입장이었다.
2) 집합의 정의와 이론들
신의 영역에 있었던 무한에 대한 연구는 수학을 “무한을 연구하는 학문”으로 영역을 확장하게 하였다. 집합을 창안하고 완성된 무한집합의 존재를 인정하여 무한을 체계적으로 연구한 칸토어는 직관적인 방법으로 집합을 다음과 같이 정의하였다.
"우리의 직관 또는 사고의 대상으로서 서로 뚜렷이 구분되는 원소들의 전체의 모임을 집합(set)이라 한다"
러셀(Russell, 1902)은 집합론에 대한 역설을 발표하였다. 역설은 “모든 집합의 집합은 존재하지 않는다”는 것이다. 이러한 모순을 극복하기 위해서 집합과 원소를 무정의 용어로 하는 공리론적 집합론을 다양하게 구성하여 만들었다. 그러나 완전한 집합론은 아직도 나타나지 않고 있다.

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