[과외]고등 수학 명제편 01

목차

[핵심기출문제]

1. 실수 전체의 집합을 전체집합으로 할 때, 다음 중 거짓인 것은? [구정, 현대]

2. 다음 중 그 역이 참인 것은? [환일, 경기]

.
.
.

6. 다음 문장 중에서 참인 명제는? [휘경여, 대신]


<중략>

13. 다음 명제 중 옳은 것은?


[해답과 풀이]

본문내용

라 하면 이므로 이 유리수가 되는 무리수가 존재한다.
⑤ 이면 는 정의되지 않으므로 가 유리수가 되지 않는다.
이상에서 참인 것은 ②, ③, ④이다.
15. ③
16. ②
가 자연수의 집합이면
가 정수 전체의 집합이면
가 유리수 전체의 집합이면
가 무리수 전체의 집합이면
가 실수 전체의 집합이면
17. ②
에서 ㉠
가 되려면, 오른쪽 그림에서 ㉡
㉠, ㉡에서
18. ④
참, 거짓을 판별할 수 있는 식이나 문장을 명제라 한다.
I. 이므로 참인 명제이다.
II. 참, 거짓을 판별할 수 없으므로 면제가 아니다.
III. 거짓인 명제이다. (반례)
IV. 이므로 거짓인 명제이다.
∴ I, II, IV가 명제이다.
19. ③
이므로
임을 알 수 있다.
∴ I, IV가 옳다.
20. ⑤
가 참이면 가 참이고, 가 참이므로 가 참이다.
따라서, 은 모두 참임을 알 수있다.
그러나 이 참인지는 알 수 없다.
그러므로 이 모든 자연수 에 대하여 참이 되려면 이 모두 참이 되어야 한다.
인 경우와 인 경우도 마찬가지이다.
21. ①
(i) 역 : 모든 실수 에 대하여
이면이고
이다.
(ii) 이 : 이거나 이면 어떤 실수 에 대하여 이다.
(iii) 대우 : 어떤 실수 에 대하여
이면이거나
이다.
2. ③
조건 를 만족시키는 원소의 집합을 수직선 위에 나타내면
따라서, 를 만족시키는 원소의 집합을 수직선 위에 나타내면
23. ⑤
주어진 조건에서
이므로
즉, 이므로
또, 이므로
마찬가지로,
따라서, 는 이기 위한 필요충분조건이다.
24. ④
실수 전체의 집합을 ‘이다.’를 , ‘이다.’를 라 하고, 와 를 만족시키는 원소의 집합을 각각 라 하면
따라서, 의 부정은 즉
‘에는 속하지만 에는 속하지 않는 실수가 있다.‘
이므로 구하는 명제는
이지만 인 실수 가 있다.
25. ①
따라서, IV만 성립하지 않는다.
26. -34
에서
라 하면 이어야 하므로
따라서, 구하는 최소값은 -34이다.
27. ⑤
이므로
(대우)
이므로
의 근이다.
28. ③
①
이므로 참
② 닫혀있다.
③
④ 일 때 은 성립하지 않으므로 필요조건이다.
⑤ (가 정수)(가 정수)
29. ①
으로 놓으면 이고, 가 되려면
따라서 이므로 의 최소값은 3이다.
30. ②
를 만족하는 집합을 각각 라 하면
×
×
이려면
[명제편]
1. ⑤
①
모든 에 대하여 : 참
②
일 Ep, 성립한다. : 참
③ 모든 에 대하여 이 성립한다. : 참
④ 는 모든 에 대하여 성립한다. : 참
⑤ 는 어더한 에 대하여 성립하지 않는다. : 거짓
2. ④
①
②
③
④
⑤ 가 정삼각형
3. ②
명제 : (F)
역 : (T)
이 : (T)
대우 : (F)
4. ④
(ㄱ) 가 참이므로, 그 역 는 반드시 참이라고 할 수 없다.
(ㄴ) 가 참이고, 가 참이므로 도 참이다.
(ㄷ) 가 참이고 가 참이므로 도 반드시 참이다.
(ㄹ) 가 참이고, 가 참일 때, 은 참이지만, 그 역 는 반드시 참이다라고 할 수 없다.
5. ③
6. ③
가 실수이고
①, ④, ⑤는 거짓 명제이고,
②는 면제가 아니다.
7. ④
어떤 에 대하여 이 거짓인 경우는 를 만족하는 집합이 공집합이므로
㉠
모든 에 대하여 이 참인 경우는 를 만족하는 집합이 전체 집합이어야 하므로
㉡
따라서, ㉠, ㉡에서
8. ⑤
이 때, 이 되도록 의 범위를 정한다.
9. ⑤
10. 를 만족하는 가 있다고 하는 것는 를 만한다.
또, 이면 이므로
가 존재한다.
∴ 필요충분조건
11. ②
이므로
12. ①
㉢ 일 때만
㉣ 이면 일 수도 있다.
13. ④
① 가 유리수이면 는 무리수
② 이면 를 만족하는 유리수는 존재하지 않는다.
14. ②, ③, ④
① 가 유리수이면 도 유리수
② 에서 가 유리수이므로 는 무리수이다.
③ 이므로 은 무리수
④ 라 하면 이므로 이 유리수가 되는 무리수가 존재한다.
⑤ 이면 는 정의되지 않으므로 가 유리수가 되지 않는다.
이상에서 참인 것은 ②, ③, ④이다.
15. ③
16. ②
가 자연수의 집합이면
가 정수 전체의 집합이면
가 유리수 전체의 집합이면
가 무리수 전체의 집합이면
가 실수 전체의 집합이면
17. ②
에서 ㉠
가 되려면, 오른쪽 그림에서 ㉡
㉠, ㉡에서
18. ④
참, 거짓을 판별할 수 있는 식이나 문장을 명제라 한다.
I. 이므로 참인 명제이다.
II. 참, 거짓을 판별할 수 없으므로 면제가 아니다.
III. 거짓인 명제이다. (반례)
IV. 이므로 거짓인 명제이다.
∴ I, II, IV가 명제이다.
19. ③
이므로
임을 알 수 있다.
∴ I, IV가 옳다.
20. ⑤
가 참이면 가 참이고, 가 참이므로 가 참이다.
따라서, 은 모두 참임을 알 수있다.
그러나 이 참인지는 알 수 없다.
그러므로 이 모든 자연수 에 대하여 참이 되려면 이 모두 참이 되어야 한다.
인 경우와 인 경우도 마찬가지이다.
21. ①
(i) 역 : 모든 실수 에 대하여
이면이고
이다.
(ii) 이 : 이거나 이면 어떤 실수 에 대하여 이다.
(iii) 대우 : 어떤 실수 에 대하여
이면이거나
이다.
2. ③
조건 를 만족시키는 원소의 집합을 수직선 위에 나타내면
따라서, 를 만족시키는 원소의 집합을 수직선 위에 나타내면
23. ⑤
주어진 조건에서
이므로
즉, 이므로
또, 이므로
마찬가지로,
따라서, 는 이기 위한 필요충분조건이다.
24. ④
실수 전체의 집합을 ‘이다.’를 , ‘이다.’를 라 하고, 와 를 만족시키는 원소의 집합을 각각 라 하면
따라서, 의 부정은 즉
‘에는 속하지만 에는 속하지 않는 실수가 있다.‘
이므로 구하는 명제는
이지만 인 실수 가 있다.
25. ①
따라서, IV만 성립하지 않는다.
26. -34
에서
라 하면 이어야 하므로
따라서, 구하는 최소값은 -34이다.
27. ⑤
이므로
(대우)
이므로
의 근이다.
28. ③
①
이므로 참
② 닫혀있다.
③
④ 일 때 은 성립하지 않으므로 필요조건이다.
⑤ (가 정수)(가 정수)
29. ①
으로 놓으면 이고, 가 되려면
따라서 이므로 의 최소값은 3이다.
30. ②
를 만족하는 집합을 각각 라 하면
×
×
이려면
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실수,   집합,   명제,   자연수